Álgebra homológica
El álgebra homológica es la rama de las matemáticas que estudia la homología en un entorno algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes se remontan a las investigaciones en topología combinatoria (precursora de la topología algebraica ) y álgebra abstracta (teoría de módulos y sizigias ) a finales del siglo XIX, principalmente por Henri Poincaré y David Hilbert .
El álgebra homológica es el estudio de los funtores homológicos y las intrincadas estructuras algebraicas que implican; su desarrollo estuvo estrechamente relacionado con el surgimiento de la teoría de categorías . Un concepto central es el de los complejos de cadenas , que pueden estudiarse tanto a través de su homología como de su cohomología .
El álgebra homológica proporciona los medios para extraer la información contenida en estos complejos y presentarla en forma de invariantes homológicos de anillos , módulos, espacios topológicos y otros objetos matemáticos "tangibles". Las secuencias espectrales proporcionan una poderosa herramienta para hacer esto .
Ha jugado un papel enorme en la topología algebraica. Su influencia se ha expandido gradualmente y actualmente incluye álgebra conmutativa , geometría algebraica , teoría de números algebraicos , teoría de representación , física matemática , álgebras de operadores , análisis complejo y la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La teoría K es una disciplina independiente que se basa en métodos de álgebra homológica, al igual que la geometría no conmutativa de Alain Connes .
El álgebra homológica comenzó a estudiarse en su forma más básica en la década de 1800 como una rama de la topología, pero no fue hasta la década de 1940 que se convirtió en una materia independiente con el estudio de objetos como el funtor ext y el funtor tor , entre otros. [1]
La noción de cadena compleja es central en el álgebra homológica. Un complejo de cadena abstracto es una secuencia de grupos abelianos y homomorfismos de grupo , con la propiedad de que la composición de dos mapas consecutivos cualesquiera es cero:
