En geometría , el invariante de Dehn de un poliedro es un valor que se utiliza para determinar si los poliedros pueden diseccionarse entre sí o si pueden enlosar el espacio . Lleva el nombre de Max Dehn , quien lo usó para resolver el tercer problema de Hilbert sobre si todos los poliedros con el mismo volumen se podían diseccionar entre sí.
Dos poliedros tienen una disección en piezas poliédricas que se pueden volver a ensamblar en cualquiera de ellos, si y solo si sus volúmenes y las invariantes de Dehn son iguales. Un poliedro se puede cortar y volver a ensamblar en un espacio de baldosas si y solo si su invariante de Dehn es cero, por lo que tener el invariante de Dehn cero es una condición necesaria para ser un poliedro que llena el espacio. El invariante de Dehn de un poliedro flexible libre de auto-intersección es invariante a medida que se flexiona.
El invariante de Dehn es cero para el cubo pero distinto de cero para los otros sólidos platónicos , lo que implica que los otros sólidos no pueden enlosar el espacio y que no se pueden diseccionar en un cubo. Todos los sólidos de Arquímedes tienen invariantes de Dehn que son combinaciones racionales de las invariantes de los sólidos platónicos. En particular, el octaedro truncado también divide el espacio y tiene un cero invariante de Dehn como el cubo.
Los invariantes de Dehn de los poliedros son elementos de un espacio vectorial de dimensión infinita . Como grupo abeliano , este espacio es parte de una secuencia exacta que involucra homología de grupo . También se pueden definir invariantes similares para algunos otros acertijos de disección , incluido el problema de diseccionar polígonos rectilíneos entre sí mediante cortes y traslaciones de ejes paralelos.
Fondo
En dos dimensiones, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que dos polígonos cualesquiera de igual área se pueden cortar en piezas poligonales y volver a ensamblar entre sí. David Hilbert se interesó en este resultado como una forma de axiomatizar el área , en conexión con los axiomas de Hilbert para la geometría euclidiana . En el tercer problema de Hilbert , planteó la cuestión de si dos poliedros de volúmenes iguales siempre se pueden cortar en piezas poliédricas y volver a ensamblar entre sí. El alumno de Hilbert, Max Dehn , en su tesis de habilitación de 1900 , inventó el invariante de Dehn para demostrar que esto no siempre es posible, proporcionando una solución negativa al problema de Hilbert. Aunque Dehn formuló su invariante de manera diferente, el enfoque moderno es describirlo como un valor en un producto tensorial , siguiendo a Jessen (1968) . [1] [2]
Definición
La definición del invariante de Dehn requiere una noción de poliedro para el cual las longitudes y los ángulos diedros de las aristas están bien definidos. Más comúnmente, se aplica a los poliedros cuyos límites son múltiples , incrustados en un número finito de planos en el espacio euclidiano . Sin embargo, el invariante de Dehn también se ha considerado para poliedros en geometría esférica o en espacio hiperbólico , [1] y para ciertos poliedros autocruzados en el espacio euclidiano. [3]
Los valores del invariante de Dehn pertenecen a un grupo abeliano [4] definido como el producto tensorial
El factor de la izquierda de este producto tensorial es el conjunto de números reales (en este caso que representan las longitudes de los bordes de los poliedros) y el factor de la derecha representa los ángulos diedros en radianes , expresados como números módulo 2 π . [5] (Algunas fuentes toman los ángulos módulo π en lugar de módulo 2 π , [1] [4] [6] o dividen los ángulos por π y usan en lugar de [7] pero esto no hace ninguna diferencia en el producto tensorial resultante, ya que cualquier múltiplo racional de π en el factor de la derecha se convierte en cero en el producto).
El invariante de Dehn de un poliedro con longitudes de borde y ángulos diedros de arista es la suma [5]
Una descripción alternativa pero equivalente del invariante de Dehn implica la elección de una base de Hamel , un subconjunto infinito de los números reales de tal manera que cada número real se puede expresar de forma única como una suma de un número finito de múltiplos racionales de elementos de . Así, como grupo aditivo,es isomorfo a, la suma directa de copias de con un sumando para cada elemento de . Sise elige cuidadosamente para que π (o un múltiplo racional de π ) sea uno de sus elementos, y es el resto de la base con este elemento excluido, entonces el producto tensorial es el espacio vectorial real (de dimensión infinita) . El invariante de Dehn se puede expresar descomponiendo cada ángulo diedro en una suma finita de elementos básicos
dónde es racional, es uno de los números reales en la base de Hamel, y estos elementos básicos están numerados de modo que es el múltiplo racional de π que pertenece a pero no . Con esta descomposición, el invariante de Dehn es
donde cada es el vector unitario estándar en correspondiente al elemento base . Tenga en cuenta que la suma aquí comienza en, para omitir el término correspondiente a los múltiplos racionales de π . [8]
Aunque la formulación de la base de Hamel parece involucrar el axioma de elección , esto puede evitarse (cuando se considera cualquier conjunto finito específico de poliedros) restringiendo la atención al espacio vectorial de dimensión finita generado sobrepor los ángulos diedros de los poliedros. [9] Esta formulación alternativa muestra que a los valores del invariante de Dehn se les puede dar la estructura adicional de un espacio vectorial real .
Para un poliedro ideal en un espacio hiperbólico, las longitudes de los bordes son infinitas, lo que hace inaplicable la definición habitual de la invariante de Dehn. Sin embargo, el invariante de Dehn puede extenderse a estos poliedros utilizando horósferas para truncar sus vértices y calculando el invariante de Dehn de la forma habitual para la forma truncada resultante, ignorando los bordes adicionales creados por este proceso de truncamiento. El resultado no depende de la elección de las horósferas para el truncamiento, siempre que cada una corte solo un vértice del poliedro dado. [10]
Ejemplos de
Los sólidos platónicos tienen cada uno longitudes de borde uniformes y ángulos diedros, ninguno de los cuales son múltiplos racionales entre sí. El ángulo diedro de un cubo, π / 2, es un múltiplo racional de π , pero el resto no lo es. Los ángulos diedros del tetraedro regular y del octaedro regular son suplementarios : suman π . [11]
En la formulación de la base de Hamel del invariante de Dehn, se pueden elegir cuatro de estos ángulos diedros como parte de la base de Hamel. El ángulo del cubo, π / 2, es el elemento base que se descarta en la fórmula para el invariante Dehn, por lo que el invariante Dehn del cubo es cero. De manera más general, el invariante de Dehn de cualquier paralelepípedo también es cero. [12] Solo se puede incluir uno de los dos ángulos del tetraedro y del octaedro, ya que el otro es una combinación racional del que está incluido y el ángulo del cubo. Los invariantes de Dehn de cada uno de los otros sólidos platónicos serán un vector enformado al multiplicar el vector unitario del ángulo de ese sólido por la longitud y el número de aristas del sólido. No importa cómo se escalen por diferentes longitudes de borde, el tetraedro, el icosaedro y el dodecaedro tienen invariantes de Dehn que forman vectores que apuntan en diferentes direcciones y, por lo tanto, son desiguales y distintos de cero. [13]
El ángulo diedro negado del octaedro se diferencia del ángulo de un tetraedro por un múltiplo entero de π , y además el octaedro tiene dos veces más aristas que el tetraedro (doce en lugar de seis). Por lo tanto, el invariante de Dehn del octaedro es -2 veces el invariante de Dehn de un tetraedro de la misma longitud de borde. Las invariantes de Dehn de los otros sólidos de Arquímedes también se pueden expresar como combinaciones racionales de las invariantes de los sólidos platónicos. [13]
Aplicaciones
¿Existe una disección entre cada par de poliedros esféricos o hiperbólicos con el mismo volumen e invariantes de Dehn entre sí?
Como observó Dehn (1901) , el invariante de Dehn es un invariante para la disección de poliedros, en el sentido de que cortar un poliedro en piezas poliédricas más pequeñas y luego volver a ensamblarlas en un poliedro diferente no cambia el invariante de Dehn del resultado. Otro invariante de este tipo es el volumen del poliedro. Por lo tanto, si es posible diseccionar un poliedro P en un poliedro Q diferente , entonces tanto P como Q deben tener el mismo invariante de Dehn y el mismo volumen. [14] Sydler (1965) amplió este resultado demostrando que el volumen y el invariante de Dehn son los únicos invariantes para este problema. Si P y Q tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, siempre es posible diseccionar uno en el otro. [5] [15]
El resultado de Dehn sigue siendo válido para geometría esférica y geometría hiperbólica . En ambas geometrías, dos poliedros que se pueden cortar y volver a ensamblar entre sí deben tener el mismo invariante de Dehn. Sin embargo, como observó Jessen, la extensión del resultado de Sydler a la geometría esférica o hiperbólica permanece abierta: no se sabe si dos poliedros esféricos o hiperbólicos con el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn siempre se pueden cortar y ensamblar entre sí. [16] Cada variedad hiperbólica con volumen finito se puede cortar a lo largo de superficies geodésicas en un poliedro hiperbólico, que necesariamente tiene invariante de Dehn cero. [17]
El invariante de Dehn también controla la capacidad de un poliedro para enlosar el espacio (parte del tema del decimoctavo problema de Hilbert ). Cada mosaico que llena el espacio tiene un cero invariante de Dehn, como el cubo. [18] [19] Lo contrario de esto no es cierto: existen poliedros con cero invariante de Dehn que no encuadran el espacio, pero siempre se pueden diseccionar en otra forma (el cubo) que sí enlosan el espacio.
De manera más general, si alguna combinación de poliedros junta el espacio en mosaico, entonces la suma de sus invariantes Dehn (tomados en la misma proporción) debe ser cero. Por ejemplo, el panal tetraédrico-octaédrico es un mosaico del espacio por tetraedros y octaedros (con el doble de tetraedros que octaedros), lo que corresponde al hecho de que la suma de los invariantes de Dehn de un octaedro y dos tetraedros (con la misma longitud de lado ) es cero. [20]
Realizabilidad
Aunque el invariante de Dehn toma valores en no todos los elementos en este espacio se pueden realizar como las invariantes Dehn de los poliedros. Los invariantes de Dehn de los poliedros euclidianos forman un subespacio lineal de: uno puede agregar los invariantes de Dehn de los poliedros tomando la unión disjunta de los poliedros (o pegándolos juntos en una cara), negar los invariantes de Dehn haciendo agujeros en la forma del poliedro en cubos grandes y multiplicar el invariante de Dehn por cualquier escalar escalando el poliedro por el mismo número. La cuestión de qué elementos de (o equivalente, ) son realizables fue aclarado por el trabajo de Dupont y Sah, quienes mostraron la existencia de la siguiente secuencia corta exacta de grupos abelianos (no espacios vectoriales) que involucran homología de grupo : [21]
Aquí, la notación representa el grupo abeliano libre sobre poliedros euclidianos módulo ciertas relaciones derivadas de pares de poliedros que se pueden diseccionar entre sí.es el subgrupo generado en este grupo por los prismas triangulares , y se usa aquí para representar el volumen (ya que cada número real es el volumen de exactamente un elemento de este grupo). El mapa del grupo de poliedros a es el invariante de Dehn. es el grupo de rotación de puntos euclidianos , yes la homología de grupo. El teorema de Sydler de que el volumen y el invariante de Dehn son los únicos invariantes para la disección euclidiana está representado homológicamente por la afirmación de que el grupoque aparece en esta secuencia es en realidad cero. Si fuera distinto de cero, su imagen en el grupo de poliedros daría una familia de poliedros que no son diseccionables a un cubo del mismo volumen pero que tienen invariante de Dehn cero. Según el teorema de Sydler, tales poliedros no existen. [21]
El grupo que aparece hacia la derecha de la secuencia exacta es isomorfo al grupo de los diferenciales de Kähler , y el mapa de los productos tensoriales de longitudes y ángulos a los diferenciales de Kähler está dado por
dónde es la derivación universal de . Este grupo es un obstáculo para la realizabilidad: sus elementos distintos de cero provienen de elementos de que no se pueden realizar como invariantes de Dehn. [22]
De manera análoga, en el espacio hiperbólico o esférico, las invariantes de Dehn realizables no forman necesariamente un espacio vectorial, porque la multiplicación escalar ya no es posible, pero todavía forman un subgrupo. Dupont y Sah prueban la existencia de las secuencias exactas [21]
y
Aquí denota el grupo lineal especial , yes el grupo de transformaciones de Möbius ; el superíndice menos-signo indica el (-1) -eigenspace para la involución inducida por la conjugación compleja.denota el grupo unitario especial . El subgrupo en es el grupo generado por toda la esfera. [21] De nuevo, el grupo distinto de cero situado más a la derecha en estas secuencias es el obstáculo para la realizabilidad de un valor en como invariante de Dehn.
Esta visión algebraica del invariante de Dehn puede extenderse a dimensiones superiores, donde tiene una interpretación motívica que involucra la teoría K algebraica . [17]
Resultados relacionados
Se puede usar un enfoque muy similar al invariante de Dehn para determinar si dos polígonos rectilíneos se pueden diseccionar entre sí solo usando cortes y traslaciones paralelos al eje (en lugar de cortes en ángulos y rotaciones arbitrarios). Un invariante para este tipo de disección usa el producto tensorialdonde los términos izquierdo y derecho del producto representan la altura y el ancho de los rectángulos. El invariante para cualquier polígono dado se calcula cortando el polígono en rectángulos, tomando el producto del tensor de la altura y el ancho de cada rectángulo y sumando los resultados. Nuevamente, una disección es posible si y solo si dos polígonos tienen la misma área y la misma invariante. [6] [9]
Los poliedros flexibles son una clase de poliedros que pueden sufrir un movimiento continuo que conserva la forma de sus caras. Según el teorema de rigidez de Cauchy , deben ser no convexos, y se sabe (el "teorema del fuelle" ) que el volumen del poliedro debe permanecer constante durante todo este movimiento. Una versión más sólida de este teorema establece que el invariante de Dehn de tal poliedro también debe permanecer invariante a lo largo de cualquier movimiento continuo. Este resultado se denomina " teorema del fuelle fuerte ". Ha sido probado para todos los poliedros flexibles que no se entrecruzan automáticamente. [23] Sin embargo, para poliedros flexibles más complicados con auto-intersecciones, el invariante de Dehn puede cambiar continuamente a medida que el poliedro se flexiona. [24]
La curvatura media total de una superficie poliédrica se ha definido como la suma de los bordes de las longitudes de los bordes multiplicada por los ángulos diedros exteriores. Por tanto (para poliedros sin ángulos racionales) es una función lineal del invariante de Dehn, aunque no proporciona información completa sobre el invariante de Dehn. Se ha demostrado que permanece constante para cualquier poliedro flexible. [25]
Referencias
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enlaces externos
- Video sobre invariantes de Dehn en Numberphile