En geometría, un paraleloedro es un poliedro que se puede trasladar sin rotaciones en un espacio euclidiano tridimensional para llenar el espacio con un panal en el que todas las copias del poliedro se encuentran cara a cara. Hay cinco tipos de paraleloedro, identificado por primera vez por Evgraf Fedorov en 1885 en sus estudios de sistemas cristalográficos: el cubo , el prisma hexagonal , el dodecaedro rómbico , el dodecaedro alargado y el octaedro truncado . [1]
Clasificación
Cada paraleloedro es un zonoedro , construido como la suma de Minkowski de entre tres y seis segmentos de línea. Cada uno de estos segmentos de línea puede tener cualquier número real positivo como longitud, y cada borde de un paraleloedro es paralelo a uno de estos segmentos generadores, con la misma longitud. Si la longitud de un segmento de un paraleloedro generado a partir de cuatro o más segmentos se reduce a cero, el resultado es que el poliedro degenera a una forma más simple, un paraleloedro formado a partir de un segmento menos. [2] Como zonoedro, estas formas tienen automáticamente una simetría de inversión central de 2 C i , [1] pero son posibles simetrías adicionales con una elección adecuada de los segmentos generadores. [3]
Los cinco tipos de paraleloedro son: [1]
- Un paralelepípedo , generado a partir de tres segmentos de línea que no son todos paralelos a un plano común. Su forma más simétrica es el cubo , generado por tres segmentos de línea de longitud unitaria perpendiculares.
- Un prisma hexagonal , generado a partir de cuatro segmentos de línea, tres de ellos paralelos a un plano común y el cuarto no. Su forma más simétrica es el prisma derecho sobre un hexágono regular.
- El dodecaedro rómbico , generado a partir de cuatro segmentos de línea, de los cuales no hay dos paralelos a un plano común. Su forma más simétrica es generada por las cuatro largas diagonales de un cubo.
- El dodecaedro alargado , generado a partir de cinco segmentos de línea, uno de los cuales es paralelo a un plano común con dos pares disjuntos de los otros cuatro. Se puede generar usando un borde del cubo y sus cuatro largas diagonales como generadores.
- El octaedro truncado , generado a partir de seis segmentos de línea con cuatro conjuntos de tres segmentos coplanares. Se puede incrustar en el espacio de cuatro dimensiones como el 4- permutaedro , cuyos vértices son todas permutaciones de los números de conteo (1,2,3,4). En el espacio tridimensional, su forma más simétrica se genera a partir de seis segmentos de línea paralelos a las diagonales de la cara de un cubo.
Cualquier zonoedro cuyas caras tengan la misma estructura combinatoria que una de estas cinco formas es un paraleloedro, independientemente de sus ángulos particulares o longitudes de borde. Por ejemplo, cualquier transformación afín de un paraleloedro producirá otro paraleloedro del mismo tipo. [1]
Nombre | Cubo (paralelepípedo) | Prisma hexagonal Cubo alargado | Dodecaedro rómbico | Dodecaedro alargado | Octaedro truncado |
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Imágenes (los colores indican bordes paralelos) | |||||
Numero de generadores | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 |
Vértices | 8 | 12 | 14 | 18 | 24 |
Bordes | 12 | 18 | 24 | 28 | 36 |
Caras | 6 | 8 | 12 | 12 | 14 |
Embaldosado | |||||
Nombre del mosaico y diagrama de Coxeter-Dynkin | Cúbico | Prismático hexagonal | Dodecaédrico rómbico | Dodecaédrico alargado | Cúbico bitruncado |
Simetrías
Cuando se subdividen aún más de acuerdo con sus grupos de simetría, hay 22 formas del paraleloedro. Para cada forma, los centros de sus copias en su panal forman los puntos de una de las 14 celosías de Bravais . Debido a que hay menos celosías de Bravais que formas simétricas de paralelosedros, ciertos pares de paralelosedros se asignan a la misma celosía de Bravais. [3]
Al colocar un punto final de cada segmento de línea generadora de un paraleloedro en el origen del espacio tridimensional, los generadores pueden representarse como vectores tridimensionales , las posiciones de sus puntos finales opuestos. Para esta ubicación de los segmentos, un vértice del paraleloedro estará en el origen y el resto en posiciones dadas por sumas de ciertos subconjuntos de estos vectores. Un paraleloedro con Los vectores pueden de esta manera ser parametrizados por coordenadas, tres para cada vector, pero solo algunas de estas combinaciones son válidas (debido al requisito de que ciertos triples de segmentos se encuentran en planos paralelos, o de manera equivalente, que ciertos triples de vectores son coplanares) y diferentes combinaciones pueden conducir a paralelosedros que solo difieren mediante una rotación, transformación de escala o, más generalmente, mediante una transformación afín . Cuando se factorizan las transformaciones afines, el número de parámetros libres que describen la forma de un paraleloedro es cero para un paralelepípedo (todos los paralelepípedos son equivalentes entre sí en las transformaciones afines), dos para un prisma hexagonal, tres para un dodecaedro rómbico, cuatro para un dodecaedro alargado y cinco para un octaedro truncado. [4]
Historia
La clasificación de los paralelosedros en cinco tipos fue realizada por primera vez por el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov , como el capítulo 13 de un libro en ruso publicado por primera vez en 1885, cuyo título ha sido traducido al inglés como Introducción a la teoría de las figuras . [5] Algunas de las matemáticas de este libro son defectuosas; por ejemplo, incluye una prueba incorrecta de un lema que indica que cada mosaico monoédrico del plano es eventualmente periódico, lo que permanece sin resolver como el problema de Einstein . [6] En el caso de los paralelosedros, Fedorov asumió sin pruebas que cada paraleloedro es centralmente simétrico, y usó esta suposición para probar su clasificación. La clasificación de los paralelosedros fue posteriormente colocada sobre una base más firme por Hermann Minkowski , quien usó su teorema de unicidad para poliedros con caras normales y áreas dadas para demostrar que los paralelosedros son centralmente simétricos. [1]
Formas relacionadas
En dos dimensiones, la figura análoga a un paraleloedro es un paralelogo , un polígono que puede enlosar el plano de borde a borde por traslación. Estos son paralelogramos y hexágonos con lados opuestos paralelos y de igual longitud. [7]
En dimensiones más altas, un paraleloedro se llama paralelootopo . Hay 52 paraleótopos cuatridimensionales diferentes, primero enumerados por Boris Delaunay (con un paraleiótopo faltante, más tarde descubierto por Mikhail Shtogrin), [8] y 103769 tipos en cinco dimensiones. [9] [10] A diferencia del caso de las tres dimensiones, no todas son zonotopos . 17 de los paraleótopos cuatridimensionales son zonótopos, uno es la celda regular de 24 , y las 34 restantes de estas formas son sumas de zonótopos de Minkowski con las 24 celdas. [11] A-paralelotopo dimensional puede tener como máximo facetas, alcanzando el permutoedro este máximo. [2]
Un plesioedro es una clase más amplia de poliedros tridimensionales que llenan el espacio, formados a partir de los diagramas de Voronoi de conjuntos periódicos de puntos. [7] Como Boris Delaunay demostró en 1929, [12] cada paraleloedro puede convertirse en un plesioedro mediante una transformación afín, [1] pero éste permanece abierto en dimensiones superiores, [2] y en tres dimensiones también existen otros plesioedros que no son paralelosedros. Los mosaicos del espacio por plesioedros tienen simetrías que llevan cualquier celda a cualquier otra celda, pero a diferencia de los paralelosedros, estas simetrías pueden involucrar rotaciones, no solo traslaciones. [7]
Referencias
- ↑ a b c d e f Alexandrov, AD (2005). "8.1 Parallelohedra". Poliedros convexos . Saltador. págs. 349–359.
- ^ a b c Dienst, Thilo. "Los cinco paralelosedros de Fedorov en R 3 " . Universidad de Dortmund. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016.
- ^ a b Tutton, AEH (1922). Cristalografía y medición práctica de cristales, vol. I: Forma y Estructura . Macmillan. pag. 567.
- ^ Dolbilin, Nikolai P .; Itoh, Jin-ichi; Nara, Chie (2012). "Clases afines de paraleloedros tridimensionales - su parametrización". En Akiyama, Jin ; Kano, Mikio; Sakai, Toshinori (eds.). Gráficos y geometría computacional - Conferencia conjunta Tailandia-Japón, TJJCCGG 2012, Bangkok, Tailandia, 6-8 de diciembre de 2012, artículos seleccionados revisados . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 8296 . Saltador. págs. 64–72. doi : 10.1007 / 978-3-642-45281-9_6 .
- ^ Fedorov, ES (1885). Начала учения о фигурах [ Introducción a la teoría de las figuras ] (en ruso).
- ^ Senechal, Marjorie ; Galiulin, RV (1984). "Una introducción a la teoría de las figuras: la geometría de ES Fedorov". Topología estructural (en inglés y francés) (10): 5–22. hdl : 2099/1195 . Señor 0768703 .
- ^ a b c Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Azulejos con azulejos congruentes" . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14827-2 . Señor 0585178 .
- ^ Engel, P. (1988). Hargittai, I .; Vainshtein, BK (eds.). "Problemas matemáticos en cristalografía moderna". Simetrías de cristal: Papeles del centenario de Shubnikov. Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 16 (5–8): 425–436. doi : 10.1016 / 0898-1221 (88) 90232-5 . Señor 0991578 .Ver en particular la p. 435 .
- ^ Engel, Peter (2000). "Los tipos de contracción de los paralelosedros en". Acta Crystallographica . 56 (5): 491-496. Doi : 10.1107 / S0108767300007145 . MR 1784709 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A071880 (Número de tipos combinatorios de paraleloedros n-dimensionales)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Deza, Michel ; Grishukhin, Viacheslav P. (2008). "Más sobre los 52 paraleótopos cuatridimensionales". Revista taiwanesa de matemáticas . 12 (4): 901–916. arXiv : matemáticas / 0307171 . doi : 10.11650 / twjm / 1500404985 . Señor 2426535 .
- ^ Austin, David (noviembre de 2013). "Los cinco paralelosedros de Fedorov" . Columna de funciones AMS . Sociedad Matemática Estadounidense.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Paraleloedro primario" . MathWorld .