Huai-Dong Cao (nacido el 8 de noviembre de 1959 en Jiangsu ) es chino-estadounidense [ ¿cuándo? ] matemático. Es profesor de matemáticas A. Everett Pitcher en la Universidad de Lehigh . Es conocido por sus contribuciones de investigación al flujo de Ricci , un tema en el campo del análisis geométrico .
Huai-Dong Cao | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Chino tradicional | 曹懷東 | ||||||
Chino simplificado | 曹怀东 | ||||||
|
Historia academica
Cao recibió su BA [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ] [ dudoso ] [ definición necesaria ]
de la Universidad de Tsinghua en 1981 [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ] [ dudoso ]
y su Ph.D. de la Universidad de Princeton en 1986 bajo la supervisión de Shing-Tung Yau .
Cao es un ex director asociado del Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas (IPAM) en UCLA. Ha sido profesor invitado en MIT, Harvard University, Isaac Newton Institute, Max-Planck Institute, IHES, ETH Zurich y University of Pisa. Ha sido el editor gerente del Journal of Differential Geometry desde 2003. Sus premios y honores incluyen:
- Beca de investigación Sloan (1991-1993)
- Beca Guggenheim (2004)
- Premio al Joven Investigador Extranjero Sobresaliente otorgado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (2005)
Contribuciones matemáticas
Flujo de Kähler-Ricci
En 1982, Richard S. Hamilton introdujo el flujo de Ricci , demostrando un nuevo teorema dramático sobre la geometría de las variedades tridimensionales . [1] Cao, que acababa de comenzar su doctorado. estudios con Shing-Tung Yau , comenzaron a estudiar el flujo de Ricci en el entorno de las variedades de Kähler . En su Ph.D. tesis, publicada en 1985, mostró que las estimaciones de Yau en la resolución de la conjetura de Calabi podrían modificarse al contexto de flujo de Kähler-Ricci, para probar un teorema de convergencia similar al resultado original de Hamilton. [2] Esto también proporcionó una alternativa parabólica al método de continuidad de Yau en la demostración de la conjetura de Calabi, aunque gran parte del trabajo técnico en las demostraciones es similar.
El trabajo de Perelman sobre el flujo de Ricci
Siguiendo una sugerencia de Yau de que el flujo de Ricci podría usarse para probar la conjetura de geometrización de William Thurston , Hamilton desarrolló la teoría durante las siguientes dos décadas. En 2002 y 2003, Grisha Perelman publicó dos artículos en arXiv en los que afirmaba presentar una prueba, a través del flujo de Ricci, de la conjetura de geometrización. [3] [4] Además, publicó un tercer artículo en el que daba un atajo a la prueba de la famosa conjetura de Poincaré , por lo que los resultados de la segunda mitad del segundo artículo eran innecesarios. [5] Inmediatamente se reconoció que los artículos de Perelman ofrecían nuevos resultados notables en la teoría del flujo de Ricci, aunque muchos matemáticos no pudieron comprender completamente los detalles técnicos de algunas secciones inusualmente complejas o concisas de su trabajo.
Bruce Kleiner de la Universidad de Yale y John Lott de la Universidad de Michigan comenzaron a publicar anotaciones de los dos primeros artículos de Perelman en la web en 2003, añadiéndolas y modificándolas durante los siguientes años. Los resultados de este trabajo fueron publicados en una revista académica en 2008. [6] Cao colaboró con Xi-Ping Zhu de la Universidad de Zhongshan , publicando una exposición en 2006 del trabajo de Hamilton y de los dos primeros artículos de Perelman, explicándolos en el contexto de la literatura matemática sobre análisis geométrico . John Morgan de la Universidad de Columbia y Gang Tian de la Universidad de Princeton publicaron un libro en 2007 sobre el primer y tercer artículo de Perelman, y la primera mitad del segundo artículo; más tarde publicaron un segundo libro sobre la segunda mitad del segundo artículo de Perelman. [7] [8]
El resumen del artículo de Cao y Zhu dice
En este artículo, damos una prueba completa de Poincaré y las conjeturas de geometrización. Este trabajo depende de los trabajos acumulativos de muchos analistas geométricos en los últimos treinta años. Esta prueba debe considerarse como el logro culminante de la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman.
con introducción comenzando
En este artículo presentaremos la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman. Basándonos en él, daremos el primer relato escrito de una prueba completa de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. Si bien el trabajo completo es un esfuerzo acumulado de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son sin duda Hamilton y Perelman.
Algunos observadores sintieron que Cao y Zhu estaban exagerando el valor de su artículo. Además, se descubrió que algunas páginas del artículo de Cao y Zhu eran similares a las del artículo de Kleiner y Lott, lo que dio lugar a acusaciones de plagio. Cao y Zhu dijeron que, en 2003, habían tomado notas sobre esa sección del trabajo de Perelman de las primeras publicaciones de Kleiner y Lott, y que, como un descuido accidental, no se habían dado cuenta de la fuente de las notas al escribir su artículo en 2005. [ 9] Publicaron una versión revisada de su artículo en arXiv en diciembre de 2006. [10]
Solitones degradados de Ricci
Un solitón de Ricci gradiente consta de una variedad de Riemann ( M , g ) y una función f en M tal que Ric g + Hess g f es un múltiplo constante de g . En el caso especial de que M tiene una estructura compleja, g es una métrica de Kähler y el gradiente de f es un campo vectorial holomórfico, uno tiene un solitón de gradiente de Kähler-Ricci . Los solitones de Ricci a veces se consideran generalizaciones de las métricas de Einstein , que corresponden al caso f = 0 . La importancia de los solitones de Ricci en gradiente para la teoría del flujo de Ricci fue reconocida por primera vez por Hamilton en un influyente artículo de 1995. [11] En el análisis de Perelman, los solitones de Ricci en gradiente donde el múltiplo constante es positivo son especialmente importantes; estos se denominan solitones de Ricci de reducción de gradiente . Se ha citado ampliamente una encuesta de 2010 de Cao sobre solitones de Ricci.
En 1996, Cao estudió solitones de gradiente de Kähler-Ricci bajo el ansatz de simetría rotacional, por lo que la ecuación de solitones de Ricci se reduce al análisis de ODE . Demostró que para cada n positivo hay un solitón de Kähler-Ricci de gradiente constante en ℂ n que es rotacionalmente simétrico, completo y curvado positivamente. En el caso de que n sea igual a 1, se recupera el solitón del cigarro de Hamilton. Cao también mostró la existencia de solitones de Kähler-Ricci de gradiente estable en el espacio total del paquete canónico sobre el espacio proyectivo complejo que es completo y simétrico rotacionalmente y no curvado negativamente. Construyó ejemplos cerrados de solitones de Kähler-Ricci que encogían el gradiente en la proyectivización de ciertos paquetes de líneas sobre un espacio proyectivo complejo; Estos ejemplos fueron considerados de forma independiente por Norihito Koiso. [12] El ansatz de Cao y Koiso fue empujado más allá en un artículo influyente de Mikhail Feldman, Tom Ilmanen y Dan Knopf, y los ejemplos de Cao, Koiso y Feldman-Ilmanen-Knopf han sido unificados y extendidos en 2011 por Andrew Dancer y McKenzie Wang. [13] [14]
Utilizando un argumento de Perelman, Cao y Detang Zhou mostraron que los solitones de Ricci que reducen el gradiente completo tienen un carácter gaussiano , ya que para cualquier punto p dado de M , la función f debe crecer cuadráticamente con la función de distancia ap . Además, el volumen de bolas geodésicas alrededor de p puede crecer como mucho polinomialmente con su radio. Estas estimaciones hacen posible gran parte del análisis integral relacionado con los solitones de Ricci que reducen el gradiente completo, en particular permitiendo que e - f se use como una función de ponderación.
Publicaciones importantes
- Cao, Huai Dong. Deformación de métricas de Kähler a métricas de Kähler-Einstein en colectores compactos de Kähler. Inventar. Matemáticas. 81 (1985), núm. 2, 359–372.
- Cao, Huai-Dong. Existencia de solitones de gradiente de Kähler-Ricci. Métodos elípticos y parabólicos en geometría (Minneapolis, MN, 1994), 1-16, AK Peters, Wellesley, MA, 1996.
- Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Una prueba completa de las conjeturas de Poincaré y la geometrización: aplicación de la teoría de Hamilton-Perelman del flujo de Ricci. Asian J. Math. 10 (2006), núm. 2, 165–492.
- Cao, Huai-Dong. Avances recientes en los solitones de Ricci. Avances recientes en análisis geométrico, 1-38, Adv. Lect. Matemáticas. (ALM), 11, Int. Prensa, Somerville, MA, 2010.
- Cao, Huai-Dong; Zhou, Detang. En gradiente completo, los solitones de Ricci se contraen. J. Geom diferencial. 85 (2010), núm. 2, 175-185.
Referencias
- ^ Hamilton, Richard S. Tres variedades con curvatura de Ricci positiva. Journal of Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 255-306.
- ^ Yau, Shing Tung. Sobre la curvatura de Ricci de un colector compacto de Kähler y la compleja ecuación de Monge-Ampère. I. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 31 (1978), núm. 3, 339–411.
- ^ Perelman, Grisha. La fórmula de la entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas. arXiv : matemáticas / 0211159
- ^ Perelman, Grisha. Flujo de Ricci con cirugía en tres colectores. arXiv : matemáticas / 0303109
- ^ Perelman, Grisha. Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertos tres múltiples. arXiv : matemáticas / 0307245
- ^ Kleiner, Bruce; Lott, John. Notas sobre los trabajos de Perelman. Geom. Topol. 12 (2008), núm. 5, 2587-2855.
- ^ Morgan, John; Tian, Gang. Ricci flow y la conjetura de Poincaré. Monografías de Clay Mathematics, 3. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii + 521 págs. ISBN 978-0-8218-4328-4
- ^ Morgan, John; Tian, Gang. La conjetura de la geometrización. Monografías de Clay Mathematics, 5. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x + 291 págs. ISBN 978-0-8218-5201-9
- ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Errata para: "Una prueba completa de las conjeturas de Poincaré y geometrización: aplicación de la teoría de Hamilton-Perelman del flujo de Ricci [Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165–492]. Asian J. Math. 10 (2006), núm. 4, 663.
- ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Prueba de Hamilton-Perelman de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización. arXiv : matemáticas / 0612069
- ^ Hamilton, Richard S. La formación de singularidades en el flujo de Ricci. Encuestas en geometría diferencial, Vol. II (Cambridge, MA, 1993), págs. 7-136, Int. Prensa, Cambridge, MA, 1995.
- ^ Koiso, Norihito. Sobre la ecuación de Hamilton rotacionalmente simétrica para métricas de Kähler-Einstein. Temas recientes en geometría diferencial y analítica, 327–337, Adv. Semental. Pure Math., 18-I, Academic Press, Boston, MA, 1990.
- ^ Feldman, Mikhail; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan. Solitones de Kähler-Ricci de gradiente de expansión y contracción simétrica rotacional. J. Geom diferencial. 65 (2003), núm. 2, 169-209.
- ^ Bailarín, Andrew S .; Wang, McKenzie Y. Sobre los solitones de Ricci de cohomogeneidad uno. Ana. Anal global. Geom. 39 (2011), núm. 3, 259-292.