En matemáticas , el teorema de Hurwitz es un teorema de Adolf Hurwitz (1859-1919), publicado póstumamente en 1923, que resuelve el problema de Hurwitz para álgebras no asociativas reales unitales de dimensión finita dotadas de una forma cuadrática definida positiva . El teorema establece que si la forma cuadrática define un homomorfismo en los números reales positivos en la parte distinta de cero del álgebra, entonces el álgebra debe ser isomorfa a los números reales , los números complejos , los cuaterniones o el octoniones . Tales álgebras, a veces llamadas álgebras de Hurwitz , son ejemplos de álgebras de composición .
La teoría de las álgebras de composición se ha generalizado posteriormente a formas cuadráticas arbitrarias y campos arbitrarios . [1] El teorema de Hurwitz implica que las fórmulas multiplicativas para sumas de cuadrados solo pueden ocurrir en 1, 2, 4 y 8 dimensiones, un resultado originalmente probado por Hurwitz en 1898. Es un caso especial del problema de Hurwitz , resuelto también en Radon ( 1922) . Eckmann (1943) ha dado pruebas posteriores de las restricciones sobre la dimensión utilizando la teoría de la representación de grupos finitos y por Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizando álgebras de Clifford . El teorema de Hurwitz se ha aplicado entopología algebraica a problemas sobre campos vectoriales en esferas y los grupos de homotopía de los grupos clásicos [2] y en mecánica cuántica a la clasificación de álgebras simples de Jordan . [3]
Un álgebra de Hurwitz o álgebra de composición es un álgebra A de dimensión finita no necesariamente asociativa con identidad dotada de una forma cuadrática no degenerada q tal que q ( a b ) = q ( a ) q ( b ) . Si el campo coeficiente subyacente es los reales y q es-definida positiva, de modo que ( a , b ) = 1 / 2 [ q ( un + b ) - q( a ) - q ( b )] es un producto interno , entonces A se llama álgebra euclidiana de Hurwitz o álgebra de división normalizada (de dimensión finita) . [4]
Si A es un álgebra euclidiana de Hurwitz y a está en A , defina la involución y los operadores de multiplicación derecho e izquierdo por
Evidentemente, la involución tiene un período dos y conserva el producto interno y la norma. Estos operadores tienen las siguientes propiedades:
Estas propiedades se prueban a partir de la versión polarizada de la identidad ( a b , a b ) = ( a , a ) ( b , b ) :