Un primo de Pierpont es un número primo de la forma
Lleva el nombre de | James Pierpont |
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No. de términos conocidos | Miles |
Conjeturaba que no. de términos | Infinito |
Subsecuencia de | Número de Pierpont |
Primeros términos | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889 |
Término más grande conocido | 3 · 2 16,408,818 + 1 |
Índice OEIS | A005109 |
Un primo de Pierpont con v = 0 tiene la forma, y por lo tanto es un primo de Fermat (a menos que u = 0 ). Si v es positivo, entonces u también debe ser positivo (porque un número de la forma sería par y, por lo tanto, no primo, ya que 2 no se puede expresar como cuando v es un número entero positivo) y, por lo tanto, los números primos de Piermont que no son de Fermat tienen la forma 6 k + 1 , cuando k es un número entero positivo (excepto 2, cuando u = v = 0 ).
Los primeros números primos de Pierpont son:
Distribución
¿Hay infinitos números primos de Pierpont?
Empíricamente, los números primos de Pierpont no parecen ser particularmente raros o estar escasamente distribuidos. Hay 42 números primos de Pierpont menores de 10 6 , 65 menos de 10 9 , 157 menos de 10 20 y 795 menos de 10100 . Existen pocas restricciones de las factorizaciones algebraicas en los primos de Pierpont, por lo que no hay requisitos como la condición de primo de Mersenne de que el exponente debe ser primo. Por lo tanto, se espera que entre números de n dígitos de la forma correcta, la fracción de estos que son primos debe ser proporcional a 1 / n , una proporción similar a la proporción de números primos entre todos los números de n dígitos. Como los hay números de la forma correcta en este rango, debe haber Pierpont primos.
Andrew M. Gleason hizo explícito este razonamiento, conjeturando que hay infinitos números primos de Pierpont, y más específicamente que debería haber aproximadamente 9 n números primos de Pierpont hasta 10 n . [1] Según la conjetura de Gleason, hayPierpont primos más pequeños que N , a diferencia del número conjetural más pequeño de primos de Mersenne en ese rango.
Prueba de primordialidad
Cuándo , la primordialidad de puede ser probado por el teorema de Proth . Por otro lado, cuando pruebas de primalidad alternativas para son posibles basados en la factorización de como un pequeño número par multiplicado por una gran potencia de tres. [2]
Primos de Pierpont encontrados como factores de números de Fermat
Como parte de la búsqueda mundial en curso de factores de números de Fermat , se han anunciado como factores algunos primos de Pierpont. La siguiente tabla [3] da valores de m , k y n tales que
El lado izquierdo es un primo de Pierpont cuando k es una potencia de 3; el lado derecho es un número de Fermat.
metro | k | norte | Año | Descubridor |
---|---|---|---|---|
38 | 3 | 41 | 1903 | Cullen , Cunningham y Western |
63 | 9 | 67 | 1956 | Robinson |
207 | 3 | 209 | 1956 | Robinson |
452 | 27 | 455 | 1956 | Robinson |
9428 | 9 | 9431 | 1983 | Keller |
12185 | 81 | 12189 | 1993 | Dubner |
28281 | 81 | 28285 | 1996 | Taura |
157167 | 3 | 157169 | 1995 | Joven |
213319 | 3 | 213321 | 1996 | Joven |
303088 | 3 | 303093 | 1998 | Joven |
382447 | 3 | 382449 | 1999 | Cosgrave y Gallot |
461076 | 9 | 461081 | 2003 | Nohara, Jobling, Woltman y Gallot |
495728 | 243 | 495732 | 2007 | Keizer, Jobling, Penné & Fougeron |
672005 | 27 | 672007 | 2005 | Cooper , Jobling, Woltman y Gallot |
2145351 | 3 | 2145353 | 2003 | Cosgrave, Jobling, Woltman y Gallot |
2478782 | 3 | 2478785 | 2003 | Cosgrave, Jobling, Woltman y Gallot |
2543548 | 9 | 2543551 | 2011 | Brown, Reynolds, Penné y Fougeron |
A partir de 2020[actualizar], el primo Pierpont más grande conocido es 3 · 2 16408818 + 1 (4,939,547 dígitos decimales), cuya primalidad se descubrió en octubre de 2020. [4]
Construcción de polígono
En las matemáticas del plegado de papel , los axiomas de Huzita definen seis de los siete tipos de plegado posibles. Se ha demostrado que estos pliegues son suficientes para permitir la construcción de los puntos que resuelven cualquier ecuación cúbica . [5] Se deduce que permiten que se forme cualquier polígono regular de N lados, siempre que N ≥ 3 y de la forma 2 m 3 n ρ , donde ρ es un producto de distintos números primos de Pierpont. Esta es la misma clase de polígonos regulares que los que se pueden construir con un compás , una regla y un trisector de ángulo . [1] Los polígonos regulares que se pueden construir solo con compás y regla ( polígonos construibles ) son el caso especial donde n = 0 y ρ es un producto de distintos números primos de Fermat , ellos mismos un subconjunto de los números primos de Pierpont.
En 1895, James Pierpont estudió la misma clase de polígonos regulares; su trabajo es lo que da el nombre a los números primos de Pierpont. Pierpont generalizó las construcciones con compás y regla de forma diferente, agregando la capacidad de dibujar secciones cónicas cuyos coeficientes provienen de puntos previamente construidos. Como mostró, los N -gones regulares que se pueden construir con estas operaciones son aquellos tales que el totiente de N es 3-suave. Dado que el totient de un primo se forma restando uno de él, los primos N para los cuales las obras de construcción de Pierpont son exactamente los primos de Pierpont. Sin embargo, Pierpont no describió la forma de los números compuestos con 3-suaves totientes. [6] Como demostró Gleason más tarde, estos números son exactamente los de la forma 2 m 3 n ρ dada anteriormente. [1]
El primo más pequeño que no es un primo de Pierpont (o Fermat) es 11; por lo tanto, el endecágono es el primer polígono regular que no se puede construir con compás, regla y trisector de ángulo (o origami, o secciones cónicas). Todos los demás gones N regulares con 3 ≤ N ≤ 21 se pueden construir con compás, regla y trisector. [1]
Generalización
Un número primo de Pierpont del segundo tipo es un número primo de la forma 2 u 3 v - 1. Estos números son
Los primos más grandes conocidos de este tipo son los primos de Mersenne ; actualmente el más grande conocido es(24,862,048 dígitos decimales). La prima de Pierpont más grande conocida de segundo tipo que no es una Mersenne, esencontrado por PrimeGrid . [7]
Un primo de Pierpont generalizado es un primo de la formacon k primos fijos { p 1 , p 2 , p 3 , ..., p k }, p i < p j para i < j . Un primo de Pierpont generalizado del segundo tipo es un primo de la formacon k primos fijos { p 1 , p 2 , p 3 , ..., p k }, p i < p j para i < j . Dado que todos los primos mayores que 2 son impares, en ambos tipos p 1 debe ser 2. Las secuencias de dichos primos en OEIS son:
{ p 1 , p 2 , p 3 , ..., p k } | +1 | −1 |
{2} | OEIS : A092506 | OEIS : A000668 |
{2, 3} | OEIS : A005109 | OEIS : A005105 |
{2, 5} | OEIS : A077497 | OEIS : A077313 |
{2, 3, 5} | OEIS : A002200 | OEIS : A293194 |
{2, 7} | OEIS : A077498 | OEIS : A077314 |
{2, 3, 5, 7} | OEIS : A174144 | |
{2, 11} | OEIS : A077499 | OEIS : A077315 |
{2, 13} | OEIS : A173236 | OEIS : A173062 |
Ver también
- Proth prime , los números primos de la formadonde k y n son números enteros positivos, es extraño y .
Referencias
- ^ a b c d Gleason, Andrew M. (1988), "Trisección de ángulo, el heptágono y el triskaidecágono", American Mathematical Monthly , 95 (3): 185-194, doi : 10.2307 / 2323624 , MR 0935432. Nota a pie de página 8, pág. 191.
- ^ Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "On the primality of", Matemáticas discretas , 241 (1–3): 395–406, doi : 10.1016 / S0012-365X (01) 00125-X , MR 1861431.
- ^ Wilfrid Keller, estado de factorización de Fermat .
- ^ Caldwell, Chris, "Los números primos más grandes conocidos" , El primer Páginas , recuperada 8 de enero de 2021; "La base de datos Prime: 3 * 2 ^ 16.408.818 + 1" , el primer Páginas , recuperada 8 de enero de 2021
- ^ Hull, Thomas C. (2011), "Resolver cúbicos con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill", American Mathematical Monthly , 118 (4): 307–315, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 , Señor 2800341.
- ^ Pierpont, James (1895), "Sobre un teorema no demostrado de las Disquisitiones Arithmeticæ", Boletín de la American Mathematical Society , 2 (3): 77–83, doi : 10.1090 / S0002-9904-1895-00317-1 , MR 1557414.
- ^ 3 * 2 ^ 11895718 - 1 (3,580,969 dígitos decimales), de las páginas principales .