En álgebra , el hiperdeterminante es una generalización del determinante . Mientras que un determinante es una función con valores escalares definida en una matriz cuadrada n × n , un hiperdeterminante se define en una matriz multidimensional de números o tensor . Como determinante, el hiperdeterminante es un polinomio homogéneo con coeficientes enteros en las componentes del tensor. Muchas otras propiedades de los determinantes se generalizan de alguna manera a los hiperdeterminantes, pero a diferencia de un determinante, el hiperdeterminante no tiene una interpretación geométrica simple en términos de volúmenes .
Hay al menos tres definiciones de hiperdeterminante. El primero fue descubierto por Arthur Cayley en 1843 presentado a la Sociedad Filosófica de Cambridge . [1] Está en dos partes y el primer hiperdeterminante de Cayley se cubre en la segunda parte. [1] Generalmente se denota por det 0 . El segundo hiperdeterminante de Cayley se originó en 1845 [2] y a menudo se denomina "Det". Esta definición es un discriminante para un punto singular en un mapa multilineal con valores escalares . [2]
El primer hiperdeterminante de Cayley se define solo para hipercubos que tienen un número par de dimensiones (aunque existen variaciones en dimensiones impares ). El segundo hiperdeterminante de Cayley se define para un rango restringido de formatos de hipermatriz (incluidos los hipercubos de cualquier dimensión). El tercer hiperdeterminante, definido más recientemente por Glynn, ocurre solo para campos de característica principal p . Se denota por det p y actúa sobre todos los hipercubos sobre dicho campo. [3]
Sólo el primer y tercer hiperdeterminantes son "multiplicativos", excepto el segundo hiperdeterminante en el caso de los formatos de "frontera". Los hiperdeterminantes primero y tercero también tienen fórmulas cerradas como polinomios y por lo tanto se conocen sus grados, mientras que el segundo no parece tener una fórmula o grado cerrado en todos los casos que se conocen.
La notación de los determinantes se puede extender a los hiperdeterminantes sin cambios ni ambigüedad. Por tanto, el hiperdeterminante de una hipermatriz A puede escribirse utilizando la notación de barra vertical como | A | o como det ( A ).
Un libro de texto moderno estándar sobre el segundo hiperdeterminante Det de Cayley (así como muchos otros resultados) es "Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales" de Gel'fand , Kapranov y Zelevinsky . [4] Su notación y terminología se sigue en la siguiente sección.
Segundo hiperdeterminante Det de Cayley
En el caso especial de una hipermatriz de 2 × 2 × 2, el hiperdeterminante se conoce como el hiperdeterminante de Cayley en honor al matemático británico Arthur Cayley que lo descubrió. La expresión cuártica para el hiperdeterminante de la hipermatriz A de Cayley con componentes a ijk , i , j , k ∊ {0, 1 } está dada por
- Det ( A ) = a 000 2 a 111 2 + a 001 2 a 110 2 + a 010 2 a 101 2 + a 100 2 a 011 2
- - 2 a 000 a 001 a 110 a 111 - 2 a 000 a 010 a 101 a 111 - 2 a 000 a 011 a 100 a 111 - 2 a 001 a 010 a 101 a 110 - 2 a 001 a 011 a 110 a 100 - 2 a 010 a 011 a 101 a 100 + 4 a 000 a 011 a 101 a 110 + 4 a 001 a 010 a 100 a 111 .
Esta expresión actúa como discriminante en el sentido de que es cero si y solo si hay una solución distinta de cero en seis incógnitas x i , y i , z i , (con superíndice i = 0 o 1) del siguiente sistema de ecuaciones
- a 000 x 0 y 0 + a 010 x 0 y 1 + a 100 x 1 y 0 + a 110 x 1 y 1 = 0
- a 001 x 0 y 0 + a 011 x 0 y 1 + a 101 x 1 y 0 + a 111 x 1 y 1 = 0
- a 000 x 0 z 0 + a 001 x 0 z 1 + a 100 x 1 z 0 + a 101 x 1 z 1 = 0
- a 010 x 0 z 0 + a 011 x 0 z 1 + a 110 x 1 z 0 + a 111 x 1 z 1 = 0
- a 000 y 0 z 0 + a 001 y 0 z 1 + a 010 y 1 z 0 + a 011 y 1 z 1 = 0
- a 100 y 0 z 0 + a 101 y 0 z 1 + a 110 y 1 z 0 + a 111 y 1 z 1 = 0.
El hiperdeterminante se puede escribir en una forma más compacta usando la convención de Einstein para sumar sobre índices y el símbolo de Levi-Civita que es una densidad de tensor alterno con componentes ε ij especificados por ε 00 = ε 11 = 0, ε 01 = −ε 10 = 1:
- b kn = (1/2) ε il ε jm a ijk a lmn
- Det ( A ) = (1/2) ε il ε jm b ij b lm .
Usando las mismas convenciones podemos definir una forma multilineal
- f ( x , y , z ) = una ijk x yo y j z k
Entonces el hiperdeterminante es cero si y solo si hay un punto no trivial donde todas las derivadas parciales de f desaparecen.
Como expresión tensorial
El determinante anterior se puede escribir en términos de una generalización del símbolo Levi-Civita :
donde f es una generalización del símbolo Levi-Civita que permite que dos índices sean iguales:
donde la f satisface:
Como discriminante
Para hipermatrices simétricas de 2 × 2 × 2 × ⋯, el hiperdeterminante es el discriminante de un polinomio. Por ejemplo,
Entonces Det ( A ) es el discriminante de
Definiciones
En el caso general, un hiperdeterminante se define como un discriminante para un mapa multilineal f desde espacios vectoriales de dimensión finita V i hasta su campo subyacente K que puede ser o .
f se puede identificar con un tensor en el producto tensorial de cada espacio dual V * i
Por definición, un hiperdeterminante Det ( f ) es un polinomio en componentes del tensor f que es cero si y solo si el mapa f tiene un punto no trivial donde todas las derivadas parciales con respecto a los componentes de sus argumentos vectoriales se desvanecen (un no -punto trivial significa que ninguno de los argumentos vectoriales es cero).
Los espacios vectoriales V i no necesitan tener las mismas dimensiones y se dice que el hiperdeterminante es de formato ( k 1 ,…, k r ) k i > 0, si la dimensión de cada espacio V i es k i + 1. Puede Se mostrará que el hiperdeterminante existe para un formato dado y es único hasta un factor escalar, si y solo si el número más grande en el formato es menor o igual a la suma de los otros números en el formato. [5]
Esta definición no proporciona un medio para construir el hiperdeteriminante y, en general, esta es una tarea difícil. Para hiperdeterminantes con formatos donde r ≥ 4, el número de términos suele ser demasiado grande para escribir el hiperdeterminante en su totalidad. Para r mayor, incluso el grado del polinomio aumenta rápidamente y no tiene una fórmula general conveniente.
Ejemplos de
El caso de formatos con r = 1 trata con vectores de longitud k 1 + 1. En este caso, la suma de los otros números de formato es cero y k 1 es siempre mayor que cero, por lo que no existen hiperdeterminantes.
El caso de r = 2 trata con matrices ( k 1 + 1) × ( k 2 + 1) . Cada número de formato debe ser mayor o igual que el otro, por lo que solo las matrices cuadradas S tienen hiperdeterminantes y pueden identificarse con el determinante det ( S ). Aplicar la definición del hiperdeterminante como discriminante a este caso requiere que det ( S ) sea cero cuando hay vectores X e Y tales que las ecuaciones matriciales SX = 0 e YS = 0 tienen soluciones para X e Y distintos de cero .
Para r > 2 hay hiperdeterminantes con diferentes formatos que satisfacen la desigualdad de formato. por ejemplo, el hiperdeterminante 2 × 2 × 2 de Cayley tiene formato (1, 1, 1) y también existe un hiperdeterminante 2 × 2 × 3 de formato (1, 1, 2). Sin embargo, un hiperdeterminante 2 × 2 × 4 tendría formato (1, 1, 3) pero 3> 1 + 1 por lo que no existe.
La licenciatura
Dado que el hiperdeterminante es homogéneo en sus variables tiene un grado bien definido que es función del formato y se escribe N ( k 1 ,…, k r ). En casos especiales podemos escribir una expresión para el título. Por ejemplo, se dice que un hiperdeterminante tiene formato de límite cuando el número de formato más grande es la suma de los demás y en este caso tenemos [6]
Para hiperdeterminantes de dimensiones 2 r , una fórmula generadora conveniente para los grados N r es [7]
En particular para r = 2, 3, 4, 5, 6 el grado es respectivamente 2, 4, 24, 128, 880 y luego crece muy rápidamente.
En [7] se dan otras tres fórmulas especiales para calcular el grado de hiperdeterminantes .
para 2 × m × m use N (1, m - 1, m - 1) = 2 m ( m - 1)
para 3 × m × m use N (2, m - 1, m - 1) = 3 m ( m - 1) 2
para 4 × m × m use N (3, m - 1, m - 1) = (2/3) m ( m - 1) ( m - 2) (5 m - 3)
Un resultado general que se sigue de la regla del producto de los hiperdeterminantes y las propiedades de invariancia que se enumeran a continuación es que el mínimo común múltiplo de las dimensiones de los espacios vectoriales en los que actúa el mapa lineal divide el grado del hiperdeterminante, es decir
- mcm ( k 1 + 1,…, k r + 1) | N ( k 1 ,…, k r ).
Propiedades de los hiperdeterminantes
Los hiperdeterminantes generalizan muchas de las propiedades de los determinantes. La propiedad de ser discriminante es una de ellas y se utiliza en la definición anterior.
Propiedades multiplicativas
Una de las propiedades más familiares de los determinantes es la regla de multiplicación, que a veces se conoce como fórmula de Binet-Cauchy . Para las matrices A y B cuadradas de n × n, la regla dice que
- det ( AB ) = det ( A ) det ( B )
Esta es una de las reglas más difíciles de generalizar de determinantes a hiperdeterminantes porque las generalizaciones de productos de hipermatrices pueden dar hipermatrices de diferentes tamaños. El dominio completo de los casos en los que se puede generalizar la regla del producto sigue siendo objeto de investigación. Sin embargo, hay algunos casos básicos que se pueden establecer.
Dada una forma multilineal f ( x 1 ,…, x r ) podemos aplicar una transformación lineal en el último argumento usando una matriz B de n × n , y r = B x r . Esto genera una nueva forma multilineal del mismo formato,
- g ( x 1 ,…, x r ) = f ( x 1 ,…, y r )
En términos de hipermatrices, esto define un producto que se puede escribir g = f . B
Entonces es posible usar la definición de hiperdeterminante para demostrar que
- det ( f . B ) = det ( f ) det ( B ) N / n
donde n es el grado del hiperdeterminante. Esto generaliza la regla del producto para matrices.
Se han demostrado más generalizaciones de la regla del producto para productos apropiados de hipermatrices de formato de contorno. [8]
Propiedades de invariancia
Por lo general, un determinante no se considera en términos de sus propiedades como un invariante algebraico, pero cuando los determinantes se generalizan a hiperdeterminantes, la invariancia es más notable. Usando la regla de multiplicación anterior en el hiperdeterminante de una hipermatriz H por una matriz S con determinante igual a uno, se obtiene
- det ( H . S ) = det ( H )
En otras palabras, el hiperdeterminante es un invariante algebraico bajo la acción del grupo lineal especial SL ( n ) sobre la hipermatriz. La transformación se puede aplicar igualmente bien a cualquiera de los espacios vectoriales sobre los que actúa el mapa multilineal para dar otra invariancia distinta. Esto conduce al resultado general,
- El hiperdeterminante del formato es un invariante bajo una acción del grupo
Por ejemplo, el determinante de una matriz n × n es un invariante SL ( n ) 2 y el hiperdeterminante de Cayley para una hipermatriz de 2 × 2 × 2 es un invariante SL (2) 3 .
Una propiedad más familiar de un determinante es que si agrega un múltiplo de una fila (o columna) a una fila (o columna) diferente de una matriz cuadrada, entonces su determinante no cambia. Este es un caso especial de su invariancia en el caso en el que la matriz de transformación lineal especial es una matriz de identidad más una matriz con un solo elemento fuera de la diagonal distinto de cero . Esta propiedad se generaliza inmediatamente a los hiperdeterminantes que implican invariancia cuando agrega un múltiplo de un segmento de una hipermatriz a otro segmento paralelo.
Un hiperdeterminante no es el único invariante algebraico polinomial para el grupo que actúa sobre la hipermatriz. Por ejemplo, se pueden formar otros invariantes algebraicos sumando y multiplicando hiperdeterminantes. En general, los invariantes forman un álgebra de anillos y del teorema de la base de Hilbert se deduce que el anillo se genera de forma finita. En otras palabras, para un formato de hipermatriz dado, todos los invariantes algebraicos polinomiales con coeficientes enteros se pueden formar usando suma, resta y multiplicación a partir de un número finito de ellos. En el caso de una hipermatriz de 2 × 2 × 2, todos estos invariantes se pueden generar de esta manera a partir del segundo hiperdeterminante de Cayley solo, pero este no es un resultado típico para otros formatos. Por ejemplo, el segundo hiperdeterminante para una hipermatriz de formato 2 × 2 × 2 × 2 es un invariante algebraico de grado 24, sin embargo, todos los invariantes pueden generarse a partir de un conjunto de cuatro invariantes más simples de grado 6 y menos. [9]
Historia y aplicaciones
El segundo hiperdeterminante fue inventado y nombrado por Arthur Cayley en 1845, quien pudo escribir la expresión para el formato 2 × 2 × 2, pero Cayley pasó a usar el término para cualquier invariante algebraico y luego abandonó el concepto en favor de una teoría general de las formas polinomiales que llamó "cuánticos". [10] Durante los siguientes 140 años hubo pocos avances en el tema y los hiperdeterminantes se olvidaron en gran medida hasta que fueron redescubiertos por Gel'fand, Kapranov y Zelevinsky en la década de 1980 como una rama de su trabajo sobre funciones hipergeométricas generalizadas . [11] Esto los llevó a escribir su libro de texto en el que el hiperdeterminante se reintroduce como discriminante. De hecho, el primer hiperdeterminante de Cayley es más fundamental que el segundo, ya que es una generalización directa del determinante ordinario y ha encontrado aplicaciones recientes en la conjetura de Alon-Tarsi. [12] [13]
Desde entonces, el hiperdeterminante ha encontrado aplicaciones en una amplia gama de disciplinas que incluyen geometría algebraica , teoría de números , computación cuántica y teoría de cuerdas .
En geometría algebraica, el segundo hiperdeterminante se estudia como un caso especial de un discriminante X. Un resultado principal es que existe una correspondencia entre los vértices del politopo de Newton para los hiperdeterminantes y la "triangulación" de un cubo en simples . [4]
En computación cuántica, las invariantes en hipermatrices de formato 2 N se utilizan para estudiar el entrelazamiento de N qubits . [14]
En la teoría de cuerdas, el hiperdeterminante apareció por primera vez en relación con las dualidades de cuerdas y la entropía de los agujeros negros. [15]
Referencias
- ^ a b A. Cayley, "Sobre la teoría de los determinantes", Trans. Camb. Philos. Soc. , 1-16 (1843) https://archive.org/details/collectedmathem01caylgoog
- ^ a b A. Cayley, "Sobre la teoría de las transformaciones lineales", Cambridge Math. J. , vol 4 , 193-209, (1845), https://archive.org/details/collectedmathem01caylgoog
- ^ David G. Glynn, "Las contrapartes modulares de los hiperdeterminantes de Cayley", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , vol. 57 (3) 479 (1998).
- ↑ a b Gel'fand, Kapranov, Zelevinsky 1994 .
- ^ Gel'fand, Kapranov, Zelevinsky, 1994 y (Capítulo 14) .
- ^ Gel'fand, Kapranov, Zelevinsky 1994 , p. 455.
- ↑ a b Gel'fand, Kapranov, Zelevinsky 1994 , p. 457.
- ^ Dionisi, Ottaviani 2001 .
- ^ Luque, Thibon 2005 .
- ^ Crilly, Crilly 2006 , p. 176.
- ^ Gel'fand, Kapranov, Zelevinsky, 1994 y (Prefacio) .
- ^ Zappa 1997 .
- ^ Glynn 2010 .
- ^ Miyake 2003 .
- ^ Duff 2007 .
Fuentes
- Cayley, A. (1849). "Sobre la teoría de los determinantes" . Trans. Camb. Philos. Soc . VIII : 1-16.
- Cayley, A. (1845). "Sobre la teoría de las transformaciones lineales" . Cambridge Math. J . 4 : 193-209.
- Glynn, David G. (1998). "Las contrapartes modulares de los hiperdeterminantes de Cayley" . Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 57 (3): 479. doi : 10.1017 / s0004972700031890 .
- Gelfand, IM; Kapranov, MM; Zelevinsky, AV (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales . Boston: Birkhäuser. ISBN 9780817636609.
- Dionisi, Carla; Ottaviani, Giorgio. "El teorema de Binet-Cauchy para el hiperdeterminante de matrices multidimensionales de formato de frontera". arXiv : matemáticas / 0104281 .
- Luque, JG .; Thibon, JY. "Las invariantes polinomiales de cuatro Qubits". Physical Review A . 67 . arXiv : quant-ph / 0212069 . Código Bibliográfico : 2003PhRvA..67d2303L . doi : 10.1103 / PhysRevA.67.042303 .
- Crilly, Tony; Crilly, AJ (2006). Arthur Cayley: matemático laureado de la época victoriana . Baltimore, Maryland: Universidad Johns Hopkins. ISBN 9780801880117.
- Miyake, A. "Clasificación de estados entrelazados multipartitos por determinantes multidimensionales". Physical Review A . 67 . arXiv : quant-ph / 0206111 . Código Bibliográfico : 2003PhRvA..67a2108M . doi : 10.1103 / PhysRevA.67.012108 .
- Duff, M. "String triality, black hole entroppy and Cayley's hyperdeterminant". Physical Review D . 76 . arXiv : hep-th / 0601134 . Código Bibliográfico : 2007PhRvD..76b5017D . doi : 10.1103 / PhysRevD.76.025017 .
- Zappa, Paolo (julio de 1997). "El determinante de Cayley del tensor determinante y la conjetura de Alon-Tarsi". Avances en Matemática Aplicada . 19 (1): 31–44. doi : 10.1006 / aama.1996.0522 .
- Glynn, David G. (enero de 2010). "Las conjeturas de Alon-Tarsi y Rota en Dimension Prime Minus One". Revista SIAM de Matemática Discreta . 24 (2): 394–399. doi : 10.1137 / 090773751 .
Otras lecturas
Para otros desarrollos históricos no contenidos en el libro de Gel'fand, Kapranov y Zelevinsky, ver:
- Lecat, Maurice (1910). Leçons sur la Theorie des Determinants an Dimensions . Gand: Ad. Hoste.
- Lecat, Maurice (1911). Histoire de la Theorie des Determinants a plusieurs Dimensions . Gand: Ad. Hoste.
- Pascal, E. (1897). Yo Determinanti . Milán: Hoepli. (también traducido al alemán: "Die Determinanten", H. Leitzmann, Halle, 1900.) Hay una pequeña sección sobre los hiperdeterminantes y su historia hasta 1900.