En matemáticas , una superficie hiperelípticas , o superficie bi-elíptica , es una superficie cuya morfismo Albanese es un fibración elíptica . Cualquiera de estas superficies se puede escribir como el cociente de un producto de dos curvas elípticas por un grupo abeliano finito . Las superficies hiperelípticas forman una de las clases de superficies de dimensión 0 de Kodaira en la clasificación de Enriques-Kodaira .
Invariantes
La dimensión de Kodaira es 0.
Diamante de Hodge:
1 | ||||
1 | 1 | |||
0 | 2 | 0 | ||
1 | 1 | |||
1 |
Clasificación
Cualquier superficie hiperelíptica es un cociente ( E × F ) / G , donde E = C / Λ y F son curvas elípticas, y G es un subgrupo de F (que actúa sobre F por traslaciones). Hay siete familias de superficies hiperelípticas como en la siguiente tabla.
orden de K | Λ | GRAMO | Acción de G sobre E |
---|---|---|---|
2 | Alguna | Z / 2 Z | e → - e |
2 | Alguna | Z / 2 Z ⊕ Z / 2 Z | e → - e , e → e + c , - c = c |
3 | Z ⊕ Z ω | Z / 3 Z | e → ω e |
3 | Z ⊕ Z ω | Z / 3 Z ⊕ Z / 3 Z | e → ω e , e → e + c , ω c = c |
4 | Z ⊕ Z i; | Z / 4 Z | e → i e |
4 | Z ⊕ Z i | Z / 4 Z ⊕ Z / 2 Z | e → yo e , e → e + c , yo c = c |
6 | Z ⊕ Z ω | Z / 6 Z | e → −ω e |
Aquí ω es una raíz cúbica primitiva de 1 e i es una cuarta raíz primitiva de 1.
Superficies cuasi hiperelípticas
Una superficie cuasi hiperelíptica es una superficie cuyo divisor canónico es numéricamente equivalente a cero, el mapeo de Albanese se asigna a una curva elíptica y todas sus fibras son racionales con una cúspide . Solo existen en las características 2 o 3. Su segundo número Betti es 2, el segundo número Chern desaparece y la característica holomórfica de Euler desaparece. Fueron clasificados por ( Bombieri & Mumford 1976 ), quienes encontraron seis casos en la característica 3 (en cuyo caso 6 K = 0) y ocho en la característica 2 (en cuyo caso 6 K o 4 K desaparecen). Cualquier superficie cuasi hiperelíptica es un cociente ( E × F ) / G , donde E es una curva racional con una cúspide, F es una curva elíptica y G es un esquema de subgrupo finito de F (que actúa sobre F por traslaciones).
Referencias
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 - el libro de referencia estándar para superficies complejas compactas
- Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 34 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, Señor 1406314 , ISBN 978-0-521-49842-5
- Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "La clasificación de Enriques de las superficies en el carácter p. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232, doi : 10.1007 / BF01390138 , ISSN 0020-9910 , MR 0491720
- Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Clasificación de superficies de Enriques en el carácter p. II", Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, págs. 23–42, MR 0491719