En matemáticas , una función f real o de valor complejo en el espacio euclidiano d- dimensional satisface una condición de Hölder , o es Hölder continua , cuando hay constantes reales no negativas C , α> 0, tales que
para todos los x y y en el dominio de f . De manera más general, la condición se puede formular para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número α se llama exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con α> 1 es constante . Si α = 1, entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier α> 0, la condición implica que la función es uniformemente continua . La condición lleva el nombre de Otto Hölder .
Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo no trivial cerrado y acotado de la línea real
- Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continuo ⊂ α-Hölder continuo ⊂ uniformemente continuo = continuo
donde 0 <α ≤ 1.
Espacios de Hölder
Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son básicos en áreas de análisis funcional relevantes para resolver ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C k , α (Ω), donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un número entero, consta de aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las k- ésimas derivadas parciales son Hölder continua con exponente α, donde 0 <α ≤ 1. Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder
es finita, entonces se dice que la función f es (uniformemente) Hölder continua con exponente α en Ω. En este caso, el coeficiente de Hölder sirve como seminorma . Si el coeficiente de Hölder se limita simplemente a subconjuntos compactos de Ω, entonces se dice que la función f es localmente continua de Hölder con exponente α en Ω.
Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están limitadas al cierre de Ω, entonces el espacio de Hölder se le puede asignar la norma
donde β varía sobre múltiples índices y
Estos seminormas y normas a menudo se denotan simplemente y o tambien y para enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω está abierto y acotado, entonceses un espacio de Banach con respecto a la norma.
Integración compacta de espacios Hölder
Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sea 0 <α <β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Entonces, hay un mapa de inclusión obvio de los espacios de Hölder correspondientes:
que es continuo ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos:
Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ 0, β son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ 0, α . Ésta es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . De hecho, sea ( u n ) una secuencia acotada en C 0, β (Ω). Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u n → u uniformemente, y también podemos suponer u = 0. Entonces
porque
Ejemplos de
- Si 0 <α ≤ β ≤ 1 entonces todos Las funciones continuas de Hölder en un conjunto acotado Ω también seHölder continuo. Esto también incluye β = 1 y, por lo tanto, todas las funciones continuas de Lipschitz en un conjunto acotado también son C 0, α Hölder continuas.
- La función f ( x ) = x β (con β ≤ 1) definida en [0, 1] sirve como ejemplo prototípico de una función que es C 0, α Hölder continua para 0 <α ≤ β, pero no para α> β. Además, si definimos f de manera análoga en, sería C 0, α Hölder continuo solo para α = β.
- Para α> 1, cualquier función continua α – Hölder en [0, 1] (o cualquier intervalo) es una constante.
- Hay ejemplos de funciones uniformemente continuas que no son α – Hölder continuas para ningún α. Por ejemplo, la función definida en [0, 1/2] por f (0) = 0 y por f ( x ) = 1 / log ( x ) de lo contrario es continua y, por lo tanto, uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor . Sin embargo, no satisface una condición de Hölder de ningún pedido.
- La función de Weierstrass definida por:
- dónde es un entero, y es α-Hölder continuo con
- La función de Cantor es Hölder continua para cualquier exponentey para nadie más grande. En el primer caso, la desigualdad de la definición se mantiene con la constante C : = 2.
- Las curvas de Peano desde [0, 1] al cuadrado [0, 1] 2 se pueden construir para que sean continuas de 1/2 a Hölder. Se puede demostrar que cuando la imagen de una función continua α – Hölder desde el intervalo unitario hasta el cuadrado no puede llenar el cuadrado.
- Las trayectorias de muestra de movimiento browniano están casi con seguridad en todas partes a nivel local α-Hölder para cada
- Las funciones que son localmente integrables y cuyas integrales satisfacen una condición de crecimiento apropiada también son continuas de Hölder. Por ejemplo, si dejamos
- y u satisface
- entonces u es Hölder continua con exponente α. [2]
- Las funciones cuya oscilación decaen a una tasa fija con respecto a la distancia son Hölder continuas con un exponente que está determinado por la tasa de decadencia. Por ejemplo, si
- para alguna función u ( x ) satisface
- para un λ fijo con 0 <λ <1 y todos los valores suficientemente pequeños de r , entonces u es Hölder continuo.
- Las funciones en el espacio de Sobolev se pueden incrustar en el espacio de Hölder apropiado a través de la desigualdad de Morrey si la dimensión espacial es menor que el exponente del espacio de Sobolev. Para ser precisos, sientonces existe una constante C , que depende solo de p y n , tal que:
- dónde Por lo tanto, si u ∈ W 1, p ( R n ), entonces u es de hecho continuo de Hölder de exponente γ, después de haber sido posiblemente redefinido en un conjunto de medida 0.
Propiedades
- Un subgrupo aditivo cerrado de un espacio de Hilbert de dimensión infinita H , conectado por arcos continuos α – Hölder con α> 1/2, es un subespacio lineal. Hay subgrupos aditivos cerrados de H , no subespacios lineales, conectados por arcos continuos de 1/2-Hölder. Un ejemplo es el subgrupo aditivo L 2 ( R , Z ) del espacio de Hilbert L 2 ( R , R ).
- Cualquier función continua f de α-Hölder en un espacio métrico X admite una aproximación de Lipschitz mediante una secuencia de funciones ( f k ) tal que f k es k -Lipschitz y
- A la inversa, cualquier secuencia ( f k ) de funciones de Lipschitz converge a un límite uniforme continuo α-Hölder f .
- Cualquier función α – Hölder f en un subconjunto X de un espacio normado E admite una extensión uniformemente continua a todo el espacio, que es Hölder continuo con la misma constante C y el mismo exponente α. La mayor extensión de este tipo es:
- La imagen de cualquier bajo una función α-Hölder tiene dimensión de Hausdorff como máximo , dónde es la dimensión de Hausdorff de .
- El espacio no es separable.
- La incrustación no es denso.
Notas
- ^ Hardy, GH (1916). "Función no diferenciable de Weierstrass". Transacciones de la American Mathematical Society . 17 (3): 301–325. JSTOR 1989005 .
- ↑ Ver, por ejemplo, Han y Lin, Capítulo 3, Sección 1. Este resultado se debió originalmente a Sergio Campanato .
Referencias
- Lawrence C. Evans (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Americana de Matemáticas, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
- Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
- Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Nueva York: Courant Institute of Mathematical Sciences . ISBN 0-9658703-0-8. OCLC 38168365 . SEÑOR1669352