Monomorfismo

Este artículo trata sobre el término matemático. Para otros usos, consulte Monomorfo (desambiguación) y Polimorfismo (desambiguación) .

En el contexto del álgebra abstracta o álgebra universal , un monomorfismo es un homomorfismo inyectivo . Un monomorfismo de X a Y a menudo se denota con la notación .${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

En el contexto más general de la teoría de categorías , un monomorfismo (también llamado morfismo mónico o mono ) es un morfismo cancelativo a la izquierda . Es decir, una flecha f  : X → Y tal que para todos los objetos Z y todos los morfismos g ₁ , g ₂ : Z → X ,

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

Los monomorfismos son una generalización categórica de funciones inyectivas (también llamadas "funciones uno a uno"); en algunas categorías las nociones coinciden, pero los monomorfismos son más generales, como en los ejemplos siguientes .

El dual categórico de un monomorfismo es un epimorfismo , es decir, un monomorfismo en una categoría C es un epimorfismo en la categoría dual C ^op . Cada sección es un monomorfismo y cada retractación es un epimorfismo.

Relación con la invertibilidad

Los morfismos invertibles a la izquierda son necesariamente mónicos: si l es un inverso a la izquierda para f (lo que significa que l es un morfismo y ), entonces f es mónico, como${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Un morfismo invertible a la izquierda se denomina mono dividido o sección .

Sin embargo, un monomorfismo no necesita ser invertible a la izquierda. Por ejemplo, en la categoría Grupo de todos los grupos y homomorfismos de grupo entre ellos, si H es un subgrupo de G, entonces la inclusión f  : H → G es siempre un monomorfismo; pero f tiene una inversa por la izquierda en la categoría si y sólo si H tiene un complemento normal en G .

Un morfismo f  : X → Y es monico si y solo si el mapa inducido f _∗  : Hom ( Z , X ) → Hom ( Z , Y ) , definido por f _∗ ( h ) = f ∘ h para todos los morfismos h  : Z → X , es inyectiva para todos los objetos Z .

Ejemplos de

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es inyectiva es un monomorfismo; en otras palabras, si los morfismos son realmente funciones entre conjuntos, entonces cualquier morfismo que sea una función uno a uno será necesariamente un monomorfismo en el sentido categórico. En la categoría de conjuntos también se cumple lo contrario, por lo que los monomorfismos son exactamente los morfismos inyectivos . Lo contrario también se cumple en la mayoría de las categorías de álgebras que ocurren naturalmente debido a la existencia de un objeto libre en un generador. En particular, es cierto en las categorías de todos los grupos, de todos los anillos y en cualquier categoría abeliana .

Sin embargo, no es cierto en general que todos los monomorfismos deban ser inyectables en otras categorías; es decir, hay escenarios en los que los morfismos son funciones entre conjuntos, pero uno puede tener una función que no es inyectiva y, sin embargo, es un monomorfismo en el sentido categórico. Por ejemplo, en la categoría Div de grupos divisibles (abelianos) y homomorfismos de grupo entre ellos hay monomorfismos que no son inyectivos: considérese, por ejemplo, el mapa de cocientes q  : Q → Q / Z , donde Q son los racionales bajo la suma, Z los enteros (también considerado un grupo bajo la suma), y Q/ Z es el grupo de cocientes correspondiente . Este no es un mapa inyectivo, ya que, por ejemplo, cada entero se asigna a 0. Sin embargo, es un monomorfismo en esta categoría. Esto se sigue de la implicación q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , que ahora probaremos. Si h  : G → Q , donde G es algún grupo divisible, y q ∘ h = 0 , entonces h ( x ) ∈ Z , ∀ x ∈ G . Ahora arregla algo de x ∈ G. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que h ( x ) ≥ 0 (de lo contrario, elija - x ). Entonces, dejando n = h ( x ) + 1 , dado que G es un grupo divisible, existe algo y ∈ G tal que x = ny , entonces h ( x ) = n h ( y ) . De esto, y 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n, resulta que

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

Desde h ( y ) ∈ Z , se deduce que h ( y ) = 0 , y por lo tanto h ( x ) = 0 = h (- x ), ∀ x ∈ G . Esto dice que h = 0 , como se desee.

Para pasar de esa implicación al hecho de que q es un monomorfismo, suponga que q ∘ f = q ∘ g para algunos morfismos f , g  : G → Q , donde G es un grupo divisible. Entonces q ∘ ( f - g ) = 0 , donde ( f - g ): x ↦ f ( x ) - g ( x ) . (Dado que ( f - g) (0) = 0 , y ( f - g ) ( x + y ) = ( f - g ) ( x ) + ( f - g ) ( y ) , se sigue que ( f - g ) ∈ Hom ( G , Q ) ). De la implicación que se acaba de demostrar, q ∘ ( f - g ) = 0 ⇒ f - g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) =g ( x ) ⇔ f = g . Por tanto, q es un monomorfismo, como se afirma.

Propiedades

• En un topos , cada mono es un ecualizador, y cualquier mapa que sea tanto mónico como épico es un isomorfismo .
• Todo isomorfismo es monico.

Conceptos relacionados

También hay conceptos útiles de monomorfismo regular , monomorfismo extremo , monomorfismo inmediato , monomorfismo fuerte y monomorfismo dividido .

• Se dice que un monomorfismo es regular si es un ecualizador de algún par de morfismos paralelos.
• Se dice que un monomorfismo es extremo ^[1] si en cada representación , donde hay un epimorfismo, el morfismo es automáticamente un isomorfismo .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$
• Se dice que un monomorfismo es inmediato si en cada representación , donde hay un monomorfismo y es un epimorfismo, el morfismo es automáticamente un isomorfismo .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$
• Se dice que un monomorfismo es fuerte ^{[1] [2]} si para cualquier epimorfismo y cualquier morfismo y tal que , existe un morfismo tal que y .${\displaystyle \mu :C\to D}$${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$${\displaystyle \alpha :A\to C}$${\displaystyle \beta :B\to D}$${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$${\displaystyle \delta :B\to C}$${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• Se dice que un monomorfismo está dividido si existe un morfismo tal que (en este caso se llama inverso del lado izquierdo para ).${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$

Terminología

Los términos acompañantes monomorfismo y epimorfismo fueron introducidos originalmente por Nicolas Bourbaki ; Bourbaki usa el monomorfismo como abreviatura de una función inyectiva. Los primeros teóricos de las categorías creían que la correcta generalización de la inyectividad al contexto de las categorías era la propiedad de cancelación dada anteriormente. Si bien esto no es exactamente cierto para los mapas mónicos, está muy cerca, por lo que esto ha causado pocos problemas, a diferencia del caso de los epimorfismos. Saunders Mac Lane intentó hacer una distinción entre lo que llamó monomorfismos , que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas subyacentes de conjuntos eran inyectivos, y mapas mónicos., que son monomorfismos en el sentido categórico de la palabra. Esta distinción nunca llegó a ser de uso general.

Otro nombre para el monomorfismo es extensión , aunque también tiene otros usos.

Ver también

• Incrustar
• Descomposición nodal
• Subobjeto

Notas

1. Borceux, 1994 .
2. Tsalenko y Shulgeifer 1974 .

Referencias

• Bergman, George (2015). Una invitación al álgebra general y las construcciones universales . Saltador. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica. Volumen 1: Teoría básica de categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521061193.
• "Monomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Van Oosten, Jaap (1995). "Teoría básica de categorías" (PDF) . Serie de conferencias Brics . BRICS, Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Aarhus. ISSN  1395-2048 .
• Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fundamentos de la teoría de categorías . Nauka. ISBN 5-02-014427-4.

enlaces externos

• monomorfismo en nLab
• Fuerte monomorfismo en nLab