En la teoría de números , más específicamente en la teoría de campos de clases locales , los grupos de ramificación son una filtración del grupo de Galois de una extensión de campo local , que proporciona información detallada sobre los fenómenos de ramificación de la extensión.
Teoría de la ramificación de las valoraciones
En matemáticas , la teoría de ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración v de un campo K a una extensión L de K . Es una generalización de la teoría de ramificación de los dominios de Dedekind. [1] [2]
La estructura del conjunto de extensiones se conoce mejor cuando L / K es Galois .
Grupo de descomposición y grupo de inercia
Sea ( K , v ) un campo valioso y dejar que L sea un finita extensión de Galois de K . Let S v el conjunto de equivalencia clases de extensiones de V a L y dejar que G sea el grupo de Galois de L sobre K . Entonces G actúa sobre S v por σ [ w ] = [ w ∘ σ] (es decir, w es un representante de la clase de equivalencia [ w ] ∈ S v y [ w ] se envía a la clase de equivalencia de la composición de w con el automorfismo σ: L → L ; esto es independiente de la elección de w en [ w ]). De hecho, esta acción es transitiva .
Dada una extensión fija w de v a L , el grupo de descomposición de w es el subgrupo estabilizador G w de [ w ], es decir, es el subgrupo de G que consta de todos los elementos que fijan la clase de equivalencia [ w ] ∈ S v .
Sea m w el ideal máximo de w dentro del anillo de valoración R w de w . El grupo de inercia de w es el subgrupo I w de G w que consta de elementos σ tales que σ x ≡ x (mod m w ) para todo x en R w . En otras palabras, I w consta de los elementos del grupo de descomposición que actúan trivialmente sobre el campo de residuos de w . Es un subgrupo normal de G w .
El índice de ramificación reducido e ( w / v ) es independiente de w y se denota e ( v ). De manera similar, el grado relativo f ( w / v ) también es independiente de w y se denota f ( v ).
Grupos de ramificación en numeración más baja
Los grupos de ramificación son un refinamiento del grupo de Galois de un finito Extensión de Galois de campos locales . Vamos a escribir para la valoración, el anillo de enteros y su máximo ideal para . Como consecuencia del lema de Hensel , se puede escribir para algunos dónde es el anillo de enteros de . [3] (Esto es más fuerte que el teorema del elemento primitivo ). Entonces, para cada entero, definimos para ser el conjunto de todos que satisfaga las siguientes condiciones equivalentes.
- (I) opera trivialmente en
- (ii) para todos
- (iii)
El grupo se llama -ésimo grupo de ramificación . Forman una filtración decreciente ,
De hecho, el son normales por (i) y triviales para lo suficientemente grandespor (iii). Para los índices más bajos, se acostumbra llamarel subgrupo de inercia dedebido a su relación con la escisión de los ideales primarios , mientrasel subgrupo de inercia salvaje de. El cociente se llama cociente domesticado.
El grupo Galois y sus subgrupos se estudian empleando la filtración anterior o, más concretamente, los cocientes correspondientes. En particular,
- dónde son los campos de residuos (finitos) de . [4]
- no está ramificado .
- está mansamente ramificado (es decir, el índice de ramificación es primordial para la característica del residuo).
El estudio de los grupos de ramificación se reduce al caso totalmente ramificado ya que se ha por .
También se define la función . (ii) en los programas anteriores es independiente de la elección de y, además, el estudio de la filtración es esencialmente equivalente a la de . [5] satisface lo siguiente: para ,
Arreglar un uniformador de . Luego induce la inyección dónde . (El mapa en realidad no depende de la elección del uniformizador. [6] ) Se deduce de esto [7]
- es cíclico de orden primo a
- es un producto de grupos cíclicos de orden .
En particular, es un p -group yes solucionable .
Los grupos de ramificación se pueden utilizar para calcular los diferentes de la extensión y el de subextensiones: [8]
Si es un subgrupo normal de , entonces para , . [9]
Combinando esto con lo anterior se obtiene: para una subextensión correspondiente a ,
Si , luego . [10] En la terminología de Lazard , esto puede entenderse como el álgebra de Lie es abeliano.
Ejemplo: la extensión ciclotómica
Los grupos de ramificación para una extensión ciclotómica. , dónde es un -th primitiva raíz de la unidad , se puede describir explícitamente: [11]
donde e se elige de manera que.
Ejemplo: una extensión cuártica
Sea K la extensión de Q 2 generada por. Los conjugados de x 1 son x 2 = x 3 = - x 1 , x 4 = - x 2 .
Un pequeño cálculo muestra que el cociente de dos de estos es una unidad . Por tanto, todos generan el mismo ideal; llámalo π .genera π 2 ; (2) = π 4 .
Ahora x 1 - x 3 = 2 x 1 , que está en π 5 .
y que está en π 3 .
Varios métodos muestran que el grupo de Galois de K es, cíclico de orden 4. Además:
y
para que lo diferente
x 1 satisface x 4 - 4 x 2 + 2, que tiene discriminante 2048 = 2 11 .
Grupos de ramificación en numeración superior
Si es un numero real , dejar denotar donde yo el menor entero. En otras palabras, Definir por [12]
donde, por convención, es igual a Si y es igual a por . [13] Entonces por . Es inmediato que es continuo y estrictamente creciente, y por lo tanto tiene la función inversa continua definido en . Definir. entonces se llama el grupo de ramificación v -ésimo en la numeración superior. En otras palabras,. Nota. La numeración superior se define de manera que sea compatible con el paso a cocientes: [14] si es normal en , luego
- para todos
(mientras que una numeración más baja es compatible con el paso a subgrupos).
Teorema de herbrand
El teorema de Herbrand establece que los grupos de ramificación en la numeración más baja satisfacen (por dónde es la subextensión correspondiente a ), y que los grupos de ramificación en la numeración superior satisfacen . [15] [16] Esto permite definir grupos de ramificación en la numeración superior para extensiones de Galois infinitas (como el grupo de Galois absoluto de un campo local) a partir del sistema inverso de grupos de ramificación para subextensiones finitas.
La numeración superior para una extensión abeliana es importante debido al teorema de Hasse-Arf . Dice que si es abeliano, luego los saltos en la filtración son enteros; es decir, cuando sea no es un número entero. [17]
La numeración superior es compatible con la filtración del grupo de residuo normal por los grupos unitarios bajo el isomorfismo de Artin . La imagen de bajo el isomorfismo
es solo [18]
Ver también
- Teoría de la ramificación de las valoraciones
Notas
- ^ Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 27 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .
- ^ Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1976) [1960]. Álgebra conmutativa, Volumen II . Textos de Posgrado en Matemáticas . 29 . Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag. Capítulo VI. ISBN 978-0-387-90171-8. Zbl 0322.13001 .
- ^ Neukirch (1999) p.178
- ^ desde es canónicamente isomorfo al grupo de descomposición.
- ↑ Serre (1979) p.62
- ^ Conrad
- ^ Utilice y
- ↑ Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64
- ↑ Serre (1979) 4.1. Prop.3, pág.63
- ↑ Serre (1979) 4.2. Proposición 10.
- ^ Serre, Corps locaux . Ch. IV, §4, Proposición 18
- ↑ Serre (1967) p.156
- ^ Neukirch (1999) p.179
- ↑ Serre (1967) p.155
- ^ Neukirch (1999) p.180
- ↑ Serre (1979) p.75
- ^ Neukirch (1999) p. 355
- ^ Snaith (1994) págs. 30-31
Referencias
- B. Conrad, Matemáticas 248A. Grupos de ramificación más altos
- Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 27 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1967). "VI. Teoría del campo de clases locales". En Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.). Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia de instrucción organizada por la Sociedad Matemática de Londres (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) con el apoyo de la Unión Matemática Internacional . Londres: Academic Press. págs. 128-161. Zbl 0153.07403 .
- Serre, Jean-Pierre (1979). Campos locales . Textos de Posgrado en Matemáticas. 67 . Traducido por Greenberg, Marvin Jay . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Señor 0554237 . Zbl 0423.12016 .
- Snaith, Victor P. (1994). Estructura del módulo Galois . Monografías del Fields Institute. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042 .