Los símbolos de Infeld-Van der Waerden , a veces llamados simplemente símbolos de Van der Waerden , son un símbolo invariante asociado al grupo de Lorentz utilizado en la teoría cuántica de campos . Llevan el nombre de Leopold Infeld y Bartel Leendert van der Waerden . [1]
Los símbolos de Infeld-Van der Waerden son una notación de índice para la multiplicación de Clifford de covectores en espinores izquierdos que dan espinores diestros o viceversa, es decir, están fuera de bloques diagonales de matrices gamma . Los símbolos se denotan típicamente en notación de Van der Waerden como
Fondo
La existencia de este símbolo invariante se deriva de un resultado de la teoría de la representación del grupo de Lorentz o, más propiamente, de su álgebra de Lie. Etiquetado de representaciones irreductibles por, el espinor y sus representaciones conjugadas complejas son las representaciones fundamentales izquierda y derecha
- y
mientras que los vectores tangentes viven en la representación vectorial
El producto tensorial de una representación fundamental izquierda y derecha es la representación vectorial,. Una declaración dual es que el producto tensorial del vector, las representaciones fundamentales izquierda y derecha contiene la representación trivial que de hecho es generada por la construcción de las representaciones del álgebra de Lie a través del álgebra de Clifford (ver más abajo) [2]
Símbolos y representaciones de Infeld-Van der Waerden del álgebra de Clifford
Considere el espacio de espinores de Weyl positivos de un espacio vectorial lorentziano con doble . Entonces los espinores de Weyl negativos se pueden identificar con el espacio vectorialde espinores duales conjugados complejos. Los espinores de Weyl implementan "dos mitades de una representación de álgebra de Clifford", es decir, vienen con una multiplicación por covectors implementada como mapas.
y
que llamaremos mapas Infeld – Van der Waerden. Tenga en cuenta que, de forma natural, también podemos pensar en los mapas como un mapa sesquilineal que asocia un vector a un espinor izquierdo y derecho.
respectivamente .
Que los mapas Infeld-Van der Waerden implementen "dos mitades de una representación del álgebra de Clifford" significa que para los covectors
resp.
- ,
para que si definimos
luego
Por lo tanto se extiende a una representación adecuada del álgebra de Clifford .
Los mapas Infeld-Van der Waerden son reales (o hermitianos) en el sentido de que los mapas duales conjugados complejos
coincide (para un verdadero covector ):
- .
Asimismo tenemos .
Ahora los símbolos Infeld the Infeld – Van der Waerden son los componentes de los mapas. y con respecto a las bases de y con bases inducidas en y . Concretamente, si T es el espacio tangente en un punto O con coordenadas locales () así que eso es una base para y es una base para , y () es una base para , es una base dual para con base dual compleja conjugada de , luego
Usando marcos locales del paquete (co) tangente y un paquete de espinor de Weyl, la construcción se traslada a una variedad diferenciable con un paquete de espinor.
Aplicaciones
La los símbolos son de fundamental importancia para los cálculos en la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo y en la supersimetría . En presencia de una tétrada para "soldar" índices de Lorentz locales a índices tangentes, la versión contratada también se puede considerar como una forma de soldadura para construir un vector tangente a partir de un par de espinores Weyl derecho e izquierdo. [3]
Convenciones
En el espacio plano de Minkowski , una representación de componentes estándar es en términos de las matrices de Pauli , de ahí lanotación. En una base ortonormal con un marco de giro estándar, los componentes convencionales son
Referencias
- ^ Infeld, Leopold; Van der Waerden, Bartel (1933). "Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitätstheorie" (PDF) . Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, physikalisch- mathische Klasse : 380–401.
- ^ "Teoría invariante, tensores y personajes grupales" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . 239 (807): 305–365. 1944-02-04. doi : 10.1098 / rsta.1944.0001 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91389 .
- ^ Ashtekar, Abhay (julio de 1991). Conferencias sobre gravedad canónica no perturbativa . Serie Avanzada en Astrofísica y Cosmología. 6 . CIENTÍFICO MUNDIAL. doi : 10.1142 / 1321 . ISBN 978-981-02-0573-7.
- ^ Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (18 de octubre de 1984). Spinors y espacio-tiempo (1 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / cbo9780511564048 . ISBN 978-0-521-33707-6.
- ^ Superspace, o mil una lecciones de supersimetría . Gates, S. James, Jr. Lectura, Mass .: Benjamin / Cummings Pub. Co. 1983. arXiv : hep-th / 0108200 . ISBN 0-8053-3160-3. OCLC 9371408 .CS1 maint: otros ( enlace )