Un grupo de simetría unidimensional es un grupo matemático que describe simetrías en una dimensión (1D).
Un patrón en 1D se puede representar como una función f ( x ) para, digamos, el color en la posición x .
El único grupo de puntos no trivial en 1D es una simple reflexión . Puede ser representado por el grupo de Coxeter más simple , A 1 , [], o diagrama de Coxeter-Dynkin .
Los grupos de simetría afines representan la traducción . Las isometrías que dejan la función sin cambios son traslaciones x + a con a tal que f ( x + a ) = f ( x ) y reflexiones a - x con a tal que f ( a - x ) = f ( x ). Las reflexiones se pueden representar mediante el grupo afín de Coxeter [∞], o el diagrama de Coxeter-Dynkin representa dos reflexiones, y la simetría de traslación como [∞] + , o diagrama de Coxeter-Dynkin como el compuesto de dos reflejos.
Grupo de puntos
Para un patrón sin simetría de traslación, existen las siguientes posibilidades ( grupos de puntos 1D ):
- el grupo de simetría es el grupo trivial (sin simetría)
- el grupo de simetría es uno de los grupos, cada uno de los cuales consta de la identidad y la reflexión en un punto (isomorfo a Z 2 )
Grupo | Coxeter | Descripción | |
---|---|---|---|
C 1 | [] + | Identidad, grupo trivial Z 1 | |
D 1 | [] | Reflexión. Grupos abstractos Z 2 o Dih 1 . |
Grupos de simetría discreta
Estas simetrías afines pueden considerarse casos limitantes de los grupos diédricos y cíclicos 2D :
Grupo | Coxeter | Descripción | |
---|---|---|---|
C ∞ | [∞] + | Cíclico: las rotaciones de ∞ veces se convierten en traslaciones. Grupo abstracto Z ∞ , el grupo cíclico infinito . | |
D ∞ | [∞] | Diedro: reflejos de ∞ pliegues. Grupo abstracto Dih ∞ , el grupo diedro infinito . |
Simetría traslacional
Considere todos los patrones en 1D que tienen simetría de traslación , es decir, funciones f ( x ) tales que para algunos a > 0, f ( x + a ) = f ( x ) para todo x . Para estos patrones, los valores de a para los que se cumple esta propiedad forman un grupo .
Primero consideramos los patrones para los cuales el grupo es discreto , es decir, para los cuales los valores positivos en el grupo tienen un mínimo. Al cambiar la escala, hacemos que este valor mínimo sea 1.
Dichos patrones se dividen en dos categorías, los dos grupos espaciales 1D o los grupos de líneas .
En el caso más simple, las únicas isometrías de R que mapean el patrón a sí mismo son las traslaciones; esto se aplica, por ejemplo, para el patrón
- −−− - −−− - −−− - −−−
Cada isometría se puede caracterizar por un número entero, es decir, más o menos la distancia de traslación. Por lo tanto el grupo de simetría es Z .
En el otro caso, entre las isometrías de R que mapean el patrón a sí mismo también hay reflejos; esto se aplica, por ejemplo, para el patrón
- −−− - - −−− - - −−− -
Elegimos el origen de x en uno de los puntos de reflexión. Ahora todas las reflexiones que mapean el patrón a sí mismo son de la forma a - x donde la constante " a " es un número entero (los incrementos de a son 1 nuevamente, porque podemos combinar una reflexión y una traslación para obtener otra reflexión, y puede combinar dos reflexiones para obtener una traducción). Por lo tanto, todas las isometrías se pueden caracterizar por un número entero y un código, digamos 0 o 1, para traducción o reflexión.
Por lo tanto:
Este último es una reflexión con respecto al punto a / 2 (un número entero o un número entero más 1/2).
Las operaciones del Grupo ( composición de la función , la de la derecha primero) son, para los números enteros a y b :
Por ejemplo, en el tercer caso: la traslación por una cantidad b cambia x en x + b , la reflexión con respecto a 0 da− x - b , y una traslación a da a - b - x .
Este grupo se denomina grupo diedro generalizado de Z , Dih ( Z ) y también D ∞ . Es un producto semidirecto de Z y C 2 . Tiene un subgrupo normal de índice 2 isomorfo a Z : las traslaciones. También contiene un elemento f de orden 2 tal que, para todo n en Z , n f = f n −1 : la reflexión con respecto al punto de referencia, (0,1).
Los dos grupos se denominan grupos de celosía . El enrejado es Z . Como celda de traducción podemos tomar el intervalo 0 ≤ x <1. En el primer caso, el dominio fundamental puede tomarse igual; topológicamente es un círculo (1- toro ); en el segundo caso podemos tomar 0 ≤ x ≤ 0.5.
El grupo de simetría discreta real de un patrón traslacionalmente simétrico puede ser:
- del tipo del grupo 1, para cualquier valor positivo de la distancia de traslación más pequeña
- del tipo del grupo 2, para cualquier valor positivo de la distancia de traslación más pequeña y cualquier posición del enrejado de puntos de reflexión (que es dos veces más denso que el enrejado de traslación)
Por tanto, el conjunto de patrones traslacionalmente simétricos puede clasificarse por grupo de simetría real, mientras que los grupos de simetría real, a su vez, pueden clasificarse como tipo 1 o tipo 2.
Estos tipos de grupos espaciales son los grupos de simetría "hasta la conjugación con respecto a las transformaciones afines": la transformación afín cambia la distancia de traslación a la estándar (arriba: 1), y la posición de uno de los puntos de reflejos, si corresponde, al origen. Por tanto, el grupo de simetría real contiene elementos de la forma gag −1 = b , que es un conjugado de a .
Grupos de simetría no discretos
Para un "patrón" homogéneo, el grupo de simetría contiene todas las traslaciones y la reflexión en todos los puntos. El grupo de simetría es isomorfo a Dih ( R ).
También hay patrones / funciones menos triviales con simetría de traslación para traducciones arbitrariamente pequeñas, por ejemplo, el grupo de traducciones por distancias racionales. Incluso aparte de escalar y desplazar, hay infinitos casos, por ejemplo, considerando números racionales cuyos denominadores son potencias de un número primo dado.
Las traducciones forman un grupo de isometrías. Sin embargo, no existe un patrón con este grupo como grupo de simetría.
Simetría 1D de una función frente a simetría 2D de su gráfico
Las simetrías de una función (en el sentido de este artículo) implican las correspondientes simetrías de su gráfico. Sin embargo, la simetría rotacional doble del gráfico no implica ninguna simetría (en el sentido de este artículo) de la función: los valores de la función (en un patrón que representa colores, sombras de gris, etc.) son datos nominales , es decir, el gris no es entre blanco y negro, los tres colores son simplemente todos diferentes.
Incluso con colores nominales puede haber un tipo especial de simetría, como en:
−−−−−−− - - −−− - - -
(el reflejo da la imagen negativa). Esto tampoco está incluido en la clasificación.
Acción de grupo
Las acciones grupales del grupo de simetría que se pueden considerar a este respecto son:
- en R
- en el conjunto de funciones reales de una variable real (cada una representa un patrón)
Esta sección ilustra conceptos de acción grupal para estos casos.
La acción de G sobre X se llama
- transitivo si para dos x , y en X existe una g en G tal que g · x = y ; para ninguna de las dos acciones de grupo, este es el caso de cualquier grupo de simetría discreta
- fiel (o eficaz ) si para dos g , h diferentes en G existe una x en X tal que g · x ≠ h · x ; para ambas acciones de grupo, este es el caso de cualquier grupo de simetría discreta (porque, a excepción de la identidad, los grupos de simetría no contienen elementos que "no hacen nada")
- libre si para dos g diferentes , h en G y todo x en X tenemos g · x ≠ h · x ; este es el caso si no hay reflejos
- regular (o simplemente transitivo ) si es transitivo y libre; esto equivale a decir que para dos x , y en X existe precisamente un g en G tal que g · x = y .
Órbitas y estabilizadores
Considere un grupo G que actúa sobre un conjunto X . La órbita de un punto x en X es el conjunto de elementos de X al que los elementos de G pueden mover x . La órbita de x se denota por Gx :
Caso de que la acción de grupo esté en R :
- Para el grupo trivial, todas las órbitas contienen un solo elemento; para un grupo de traslaciones, una órbita es, por ejemplo, {.., - 9,1,11,21, ..}, para una reflexión, por ejemplo, {2,4}, y para el grupo de simetría con traslaciones y reflexiones, por ejemplo, { −8, −6,2,4,12,14,22,24, ..} (la distancia de traslación es 10, los puntos de reflexión son .., - 7, −2,3,8,13,18,23, ..). Los puntos dentro de una órbita son "equivalentes". Si se aplica un grupo de simetría para un patrón, entonces dentro de cada órbita el color es el mismo.
Caso de que la acción grupal esté basada en patrones:
- Las órbitas son conjuntos de patrones, que contienen versiones traducidas y / o reflejadas, "patrones equivalentes". Una traslación de un patrón solo es equivalente si la distancia de traslación es una de las incluidas en el grupo de simetría considerado, y de forma similar para una imagen especular.
El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G .
Si Y es un subconjunto de X , escribimos GY para el conjunto { g · y : y Y y g G }. Llamamos invariante al subconjunto Y bajo G si GY = Y (que es equivalente a GY ⊆ Y ). En ese caso, G también opera en Y . El subconjunto Y se llama fijado bajo G si g · y = y para todo g en G y todo y en Y . En el ejemplo de la órbita {−8, −6,2,4,12,14,22,24, ..}, {−9, −8, −6, −5,1,2,4,5, 11,12,14,15,21,22,24,25, ..} es invariante bajo G , pero no fijo.
Para cada x en X , definimos el subgrupo estabilizador de x (también llamado grupo de isotropía o grupo pequeño ) como el conjunto de todos los elementos en G que fijan x :
Si x es un punto de reflexión, su estabilizador es el grupo de orden dos que contiene la identidad y la reflexión en x . En otros casos, el estabilizador es el grupo trivial.
Para una x fija en X , considere el mapa de G a X dado por. La imagen de este mapa es la órbita de x y la coimage es el conjunto de todas las izquierdas cojunto de G x . El teorema del cociente estándar de la teoría de conjuntos da una biyección natural entre y . Específicamente, la biyección viene dada por. Este resultado se conoce como el teorema del estabilizador de órbita . Si, en el ejemplo, tomamos, La órbita es -7,3,13,23 {..}, y los dos grupos son isomorfos con Z .
Si dos elementos y pertenecen a la misma órbita, entonces sus subgrupos estabilizadores, y , son isomorfos . Más precisamente: si, luego . En el ejemplo, esto se aplica, por ejemplo, a 3 y 23, ambos puntos de reflexión. La reflexión sobre 23 corresponde a una traslación de -20, una reflexión sobre 3 y una traslación de 20.