El análisis funcional es una rama del análisis matemático , cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con límites (por ejemplo , producto interno , norma , topología , etc.) y las funciones lineales definidas en estos espacios. y respetar estas estructuras en un sentido adecuado. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de los espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen continuas , unitarias.etc. operadores entre espacios funcionales. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .
El uso de la palabra funcional como sustantivo se remonta al cálculo de variaciones , lo que implica una función cuyo argumento es una función . El término se utilizó por primera vez en el libro de 1910 de Hadamard sobre ese tema. Sin embargo, el concepto general de funcional había sido introducido previamente en 1887 por el matemático y físico italiano Vito Volterra . [1] [2] La teoría de los funcionales no lineales fue continuada por estudiantes de Hadamard, en particular Fréchet y Lévy . Hadamard también fundó la escuela moderna de análisis funcional lineal desarrollada por Riesz y el grupo deMatemáticos polacos en torno a Stefan Banach .
En los textos introductorios modernos al análisis funcional, el tema es visto como el estudio de espacios vectoriales dotados de una topología, en particular espacios de dimensión infinita . [3] [4] En contraste, el álgebra lineal trata principalmente con espacios de dimensión finita y no usa topología. Una parte importante del análisis funcional es la extensión de la teoría de la medida , la integración y la probabilidad a espacios de dimensión infinita, también conocido como análisis de dimensión infinita .
La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en el análisis funcional son los espacios vectoriales normalizados completos sobre los números reales o complejos . Estos espacios se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante es un espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno. Estos espacios son de fundamental importancia en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica , el aprendizaje automático , las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis de Fourier .
De manera más general, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales topológicos no dotados de una norma.
Un objeto de estudio importante en el análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C * -álgebras y otras álgebras de operadores .