El análisis infinitesimal suave es una reformulación moderna del cálculo en términos de infinitesimales . Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías , considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas . Como teoría, es un subconjunto de la geometría diferencial sintética .
Los infinitesimales nilcuadrados o nilpotentes son números ε donde ε ² = 0 es verdadero, pero ε = 0 no necesita ser verdadero al mismo tiempo.
Este enfoque se aparta de la lógica clásica utilizada en las matemáticas convencionales al negar la ley del medio excluido , por ejemplo, NOT ( a ≠ b ) no implica a = b . En particular, en una teoría de análisis infinitesimal suave se puede probar para todos los infinitesimales ε , NOT ( ε ≠ 0); sin embargo, es probable que sea falso que todos los infinitesimales sean iguales a cero. [1] Se puede ver que la ley del tercero excluido no puede cumplirse a partir del siguiente teorema básico (nuevamente, entendido en el contexto de una teoría de análisis infinitesimal uniforme):
A pesar de este hecho, se podría intentar definir una función discontinua f ( x ) especificando que f ( x ) = 1 para x = 0, y f ( x ) = 0 para x ≠ 0. Si se cumple la ley del medio excluido , entonces esta sería una función discontinua completamente definida. Sin embargo, hay un montón de x , a saber, los infinitesimales, tales que ni x = 0 ni x ≠ 0 se cumplen, por lo que la función no está definida en los números reales.
En los modelos típicos de análisis infinitesimal suave, los infinitesimales no son invertibles y, por lo tanto, la teoría no contiene números infinitos. Sin embargo, también hay modelos que incluyen infinitesimales invertibles.
Existen otros sistemas matemáticos que incluyen infinitesimales, incluido el análisis no estándar y los números surrealistas . El análisis infinitesimal suave es como el análisis no estándar en que (1) está destinado a servir como base para el análisis , y (2) las cantidades infinitesimales no tienen tamaños concretos (a diferencia de los surrealistas, en los que un infinitesimal típico es 1/ ω , donde ω es un ordinal de von Neumann ). Sin embargo, el análisis infinitesimal suave difiere del análisis no estándar en el uso de la lógica no clásica y en la falta del principio de transferencia . Algunos teoremas del análisis estándar y no estándar son falsos en el análisis infinitesimal suave, incluido elteorema del valor intermedio y la paradoja de Banach-Tarski . Las declaraciones en el análisis no estándar se pueden traducir en declaraciones sobre límites , pero lo mismo no siempre es cierto en el análisis infinitesimal suave.