En matemáticas , especialmente en el área de topología conocida como topología algebraica , un homomorfismo inducido es un homomorfismo derivado de forma canónica de otro mapa. [1] Por ejemplo, una aplicación continua de un espacio topológico X a un espacio Y induce un homomorfismo de grupo desde el grupo fundamental de X al grupo fundamental de Y .
De manera más general, en la teoría de categorías , cualquier functor por definición proporciona un morfismo inducido en la categoría objetivo para cada morfismo en la categoría fuente. Por ejemplo, los grupos fundamentales , los grupos de homotopía superior , la homología singular y la cohomología de De Rham son estructuras algebraicas que son functoriales., lo que significa que su definición proporciona un functor desde la categoría de (por ejemplo) espacios topológicos a la categoría de (por ejemplo) grupos o anillos. Esto significa que cada espacio está asociado con una estructura algebraica, mientras que cada mapa continuo entre espacios está asociado con un mapa que preserva la estructura entre estructuras, llamado homomorfismo inducido. Un homomorfismo inducido a partir de un mapa h a menudo se denota.
Los homomorfismos inducidos a menudo heredan propiedades de los mapas de los que provienen; por ejemplo, dos mapas que son inversos entre sí hasta la homotopía inducen homomorfismos que son inversos entre sí. Un uso común de los homomorfismos inducidos es el siguiente: al mostrar que no puede existir un homomorfismo con ciertas propiedades, se concluye que no puede existir un mapa continuo con propiedades que lo induzcan. Gracias a ello, las relaciones entre espacios y mapas continuos, a menudo muy intrincados, pueden inferirse de las relaciones entre los homomorfismos que inducen. Estos últimos pueden ser más sencillos de analizar, ya que involucran estructuras algebraicas que a menudo pueden describirse, compararse y calcularse fácilmente.
En grupos fundamentales
Deje que X y Y sean espacios topológicos con puntos x 0 ∈ X , Y 0 ∈ Y . Sea h : X → Y un mapa continuo tal que h ( x 0 ) = y 0 . Entonces podemos definir un mapadel grupo fundamental π 1 ( X , x 0 ) al grupo fundamental π 1 ( Y , y 0 ) de la siguiente manera: cualquier elemento de π 1 ( X , x 0 ) , representado por un bucle f en X basado en x 0 , se asigna al bucle en π 1 ( Y , y 0 ) obtenido componiendo con h :
Aquí [f] denota la clase de equivalencia de f bajo homotopía, como en la definición del grupo fundamental. Se puede comprobar fácilmente a partir de las definiciones quees una función bien definida π 1 ( X , x 0 ) → π 1 ( Y , y 0 ) : los bucles en la misma clase de equivalencia, es decir, los bucles homotópicos en X , se asignan a los bucles homotópicos en Y , porque se puede componer una homotopía con h también. También se desprende de la definición de la operación de grupo en grupos fundamentales (es decir, por concatenación de bucles) que es un homomorfismo de grupo:
(donde + denota concatenación en bucles, el primero + en X , el segundo en Y ). [2] El homomorfismo resultantees el homomorfismo inducido por h .
También se puede denotar como π ( h ). De hecho, π da un funtor de la categoría de espacios apuntados a la categoría de grupos: asocia el grupo fundamental π 1 ( X , x 0 ) a cada espacio apuntado ( X , x 0 ) y asocia el homomorfismo inducidoa cada punto base conservando el mapa continuo f : ( X , x 0 ) ( Y , y 0 ) . Para demostrar que satisface la definición de un funtor, uno tiene que verificar además que es compatible con la composición: para el punto base preservando mapas continuos f : ( X , x 0 ) ( Y , y 0 ) y g : ( Y , y 0 ) ( Z , z 0 ) , tenemos:
Esto implica que si h no solo es un mapa continuo sino de hecho un homeomorfismo entre X e Y , entonces el homomorfismo inducidoes un isomorfismo entre grupos fundamentales (porque el homomorfismo inducido por el inverso de h es el inverso de, por la ecuación anterior). (Ver sección III.5.4, p. 201, en H. Schubert.) [3]
Aplicaciones
1. El toro no es homeomorfo para R 2 porque sus grupos fundamentales no son isomorfos (sus grupos fundamentales no tienen la misma cardinalidad ). De manera más general, un espacio simplemente conectado no puede ser homeomorfo a un espacio no simplemente conectado; uno tiene un grupo fundamental trivial y el otro no.
2. El grupo fundamental del círculo unitario es isomorfo al grupo de números enteros . Por lo tanto, la compactación de un punto de R tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de enteros (ya que la compactación de un punto de R es homeomorfa al círculo unitario). Esto también muestra que la compactificación de un punto de un espacio simplemente conectado no necesita simplemente conectarse.
3. No es necesario que se cumpla lo contrario del teorema. Por ejemplo, R 2 y R 3 tienen grupos fundamentales isomorfos pero todavía no son homeomorfos. Sus grupos fundamentales son isomorfos porque cada espacio está simplemente conectado. Sin embargo, los dos espacios no pueden ser homeomórficos porque eliminar un punto de R 2 deja un espacio no simplemente conectado, pero eliminar un punto de R 3 deja un espacio simplemente conectado (si eliminamos una línea que se encuentra en R 3 , el espacio no estar simplemente conectado más. De hecho, esto se generaliza a R n por lo que la eliminación de un subespacio ( n - 2) -dimensional de R n deja un espacio no simplemente conectado).
4. Si A es una fuerte deformación retraída de un espacio topológico X , entonces el mapa de inclusión de A a X induce un isomorfismo entre los grupos fundamentales (por lo que el grupo fundamental de X se puede describir usando solo bucles en el subespacio A ).
Otros ejemplos
Asimismo, hay homomorfismos inducidos de grupos de homotopía superior y grupos de homología . Cualquier teoría de homología viene con homomorfismos inducidos. Por ejemplo, la homología simplicial , homología singular , y homología Borel-Moore homomorfismos todos han inducidas (IV.1.3, pp. 240-241) [3] Del mismo modo, cualquier cohomology homomorfismos viene inducidos, aunque en la dirección opuesta (de un grupo asociado con Y a un grupo asociado con X ). Por ejemplo, Čech cohomology , de Rham cohomology , y cohomología singular todo haber inducido homomorfismos (IV.4.2-3, pp. 298-299). [3] Generalizaciones como el cobordismo también han inducido homomorfismos.
Definición general
Dada alguna categoría de espacios topológicos (posiblemente con alguna estructura adicional) como la categoría de todos los espacios topológicos Top o la categoría de espacios topológicos puntiagudos , es decir, espacios topológicos con un punto base distinguido y un functor de esa categoría a alguna categoría de estructuras algebraicas como la categoría de grupos Grp o de grupos abelianos Ab que luego asocia dicha estructura algebraica a cada espacio topológico, luego para cada morfismo de (que suele ser un mapa continuo, posiblemente conservando alguna otra estructura como el punto base) este functor induce un morfismo inducido en (que es un homomorfismo de grupo si es una categoría de grupos) entre las estructuras algebraicas y asociado a y , respectivamente.
Si no es un functor sino un functor contravariante, entonces, por definición, induce morfismos en la dirección opuesta:. Los grupos de cohomología dan un ejemplo.
Referencias
- ^ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-79540-0.
- ^ Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .pág. 197, Proposición 7.24.
- ^ a b c Schubert, H. (1975). Topología, Eine Einführung (Mathematische Leitfäden) . BG Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart.
- James Munkres (1999). Topología, 2ª edición, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .