En matemáticas , una transformación de intercambio de intervalo [1] es una especie de sistema dinámico que generaliza la rotación del círculo . El espacio de fase consiste en el intervalo unitario , y la transformación actúa cortando el intervalo en varios subintervalos y luego permutando estos subintervalos. Surgen de forma natural en el estudio de billares poligonales y en flujos de preservación de áreas .
Definicion formal
Dejar y deja ser una permutación en. Considere un vector de números reales positivos (los anchos de los subintervalos), satisfaciendo
Definir un mapa llamada la transformación de intercambio de intervalo asociada con el parcomo sigue. Para dejar
Entonces para , definir
Si se encuentra en el subintervalo . Por lo tanto actúa en cada subintervalo del formulario por una traslación , y reorganiza estos subintervalos de modo que el subintervalo en la posición se mueve a la posición .
Propiedades
Cualquier transformación de intercambio de intervalo es una biyección deen sí mismo conserva la medida de Lebesgue . Es continuo excepto en un número finito de puntos.
La inversa de la transformación de intercambio de intervaloes de nuevo una transformación de intercambio de intervalo. De hecho, es la transformación dónde para todos .
Si y (en notación cíclica ), y si unimos los extremos del intervalo para hacer un círculo, entonceses solo una rotación de círculo . El teorema de la equidistribución de Weyl afirma que si la longitudes irracional , entonceses exclusivamente ergódico . En términos generales, esto significa que las órbitas de los puntos deestán uniformemente distribuidos uniformemente. Por otro lado, sies racional, entonces cada punto del intervalo es periódico , y el período es el denominador de (escrito en los términos más bajos).
Si y siempre satisface ciertas condiciones de no degeneración (es decir, no hay números enteros tal que ), un teorema profundo que fue una conjetura de M. Keane y que se debe independientemente a William A. Veech [2] y Howard Masur [3] afirma que para casi todas las opciones de en la unidad simplex la transformación de intercambio de intervalo es nuevamente exclusivamente ergódico . Sin embargo, para también existen opciones de así que eso es ergódico pero no exclusivamente ergódico . Incluso en estos casos, el número de medidas invariantes ergódicas de es finito, y es como mucho .
Los mapas de intervalos tienen una entropía topológica de cero. [4]
Odómetros
El odómetro diádico puede entenderse como una transformación de intercambio de intervalos de un número contable de intervalos. El odómetro diádico se escribe más fácilmente como la transformación
definido en el espacio Cantor El mapeo estándar del espacio de Cantor al intervalo unitario viene dado por
Este mapeo es un homomorfismo que preserva la medida del conjunto de Cantor al intervalo unitario, ya que mapea la medida estándar de Bernoulli en el conjunto Cantor a la medida de Lebesgue en el intervalo unitario. A la derecha aparece una visualización del odómetro y sus tres primeras iteraciones.
Mayores dimensiones
Las generalizaciones bidimensionales y superiores incluyen intercambios de polígonos, intercambios poliédricos e isometrías por partes . [5]
Ver también
Notas
- ^ Keane, Michael (1975), "Transformaciones de intercambio de intervalo", Mathematische Zeitschrift , 141 : 25–31, doi : 10.1007 / BF01236981 , MR 0357739.
- ^ Veech, William A. (1982), "Medidas de Gauss para las transformaciones en el espacio de los mapas de intercambio de intervalo", Annals of Mathematics , Second Series, 115 (1): 201–242, doi : 10.2307 / 1971391 , MR 0644019.
- ^ Masur, Howard (1982), "Intervalo de transformaciones de intercambio y foliaciones medidas", Annals of Mathematics , Second Series, 115 (1): 169–200, doi : 10.2307 / 1971341 , MR 0644018.
- ^ Matthew Nicol y Karl Petersen, (2009) " Teoría ergódica: construcciones y ejemplos básicos ", Enciclopedia de la complejidad y la ciencia de sistemas , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
- ^ Isometrías por partes: un área emergente de sistemas dinámicos , Arek Goetz
Referencias
- Artur Avila y Giovanni Forni, Mezcla débil para transformaciones de intercambio de intervalos y flujos de traducción , arXiv: math / 0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326