ergodicidad
En matemáticas , la ergodicidad expresa la idea de que un punto de un sistema en movimiento, ya sea un sistema dinámico o un proceso estocástico , eventualmente visitará todas las partes del espacio en el que se mueve el sistema, en un sentido uniforme y aleatorio. Esto implica que el comportamiento medio del sistema puede deducirse de la trayectoria de un punto "típico". De manera equivalente, una colección suficientemente grande de muestras aleatorias de un proceso puede representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso. La ergodicidad es una propiedad del sistema; es una afirmación de que el sistema no puede reducirse o descomponerse en componentes más pequeños. La teoría ergódica es el estudio de sistemas que poseen ergodicidad.
Los sistemas ergódicos ocurren en una amplia gama de sistemas en física y geometría . Se puede entender que esto se debe a un fenómeno común: el movimiento de las partículas, es decir, las geodésicas en una variedad hiperbólica son divergentes; cuando esa variedad es compacta , es decir, de tamaño finito, esas órbitas regresan a la misma área general , eventualmente llenando todo el espacio .
Los sistemas ergódicos capturan las nociones cotidianas y de sentido común de la aleatoriedad, como que el humo puede llegar a llenar toda una habitación llena de humo, o que un bloque de metal puede eventualmente llegar a tener la misma temperatura en todas partes, o que los volcamientos de una moneda justa puede salir cara y cruz la mitad de las veces. Un concepto más fuerte que la ergodicidad es el de mezclar , que tiene como objetivo describir matemáticamente las nociones de sentido común de mezclar, como mezclar bebidas o mezclar ingredientes para cocinar.
La formulación matemática adecuada de la ergodicidad se basa en las definiciones formales de la teoría de la medida y los sistemas dinámicos , y más específicamente en la noción de un sistema dinámico que preserva la medida . Los orígenes de la ergodicidad se encuentran en la física estadística , donde Ludwig Boltzmann formuló la hipótesis ergódica .
La ergodicidad ocurre en amplios escenarios en física y matemáticas . Todos estos ajustes están unificados por una descripción matemática común, la del sistema dinámico que conserva la medida . Inmediatamente a continuación se proporciona una descripción informal de esto y una definición de ergodicidad con respecto a él. A esto le sigue una descripción de la ergodicidad en los procesos estocásticos . Son uno y el mismo, a pesar de usar una notación y un lenguaje dramáticamente diferentes.
La definición matemática de ergodicidad tiene como objetivo capturar las ideas cotidianas ordinarias sobre la aleatoriedad . Esto incluye ideas sobre sistemas que se mueven de tal manera que (eventualmente) llenan todo el espacio, como la difusión y el movimiento browniano , así como nociones de sentido común sobre mezclas, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes para cocinar, etc. mezcla de procesos , humo en una habitación llena de humo, polvo en los anillos de Saturno, etc. Para proporcionar una base matemática sólida, las descripciones de los sistemas ergódicos comienzan con la definición de un sistema dinámico que conserva la medida . Esto está escrito como
