En matemáticas, un odómetro de Markov es un cierto tipo de sistema dinámico topológico . Desempeña un papel fundamental en la teoría ergódica y especialmente en la teoría de órbitas de sistemas dinámicos , ya que un teorema de H. Dye afirma que toda transformación ergódica no singular es equivalente en órbita a un odómetro de Markov. [1]
El ejemplo básico de tal sistema es el "odómetro no singular", que es un grupo topológico aditivo definido en el espacio producto de espacios discretos , inducido por la adición definida como, dónde . Este grupo puede estar dotado de la estructura de un sistema dinámico ; el resultado es un sistema dinámico conservador .
La forma general, que se denomina "odómetro de Markov", se puede construir mediante el diagrama de Bratteli-Vershik para definir el espacio compactum de Bratteli-Vershik junto con la transformación correspondiente.
Odómetros no singulares
Se pueden definir varios tipos de odómetros no singulares. [2] A veces se les denomina máquinas sumadoras . [3] El más simple se ilustra con el proceso de Bernoulli . Este es el conjunto de todas las cadenas infinitas en dos símbolos, aquí denotado pordotado de la topología del producto . Esta definición se extiende naturalmente a un odómetro más general definido en el espacio del producto.
para alguna secuencia de enteros con cada
El odómetro para para todos se denomina odómetro diádico , máquina sumadora de von Neumann-Kakutani o máquina sumadora diádica .
La entropía topológica de cada máquina sumadora es cero. [3] Cualquier mapa continuo de un intervalo con una entropía topológica de cero se conjuga topológicamente a una máquina sumadora, cuando se restringe a su acción en el conjunto transitivo topológicamente invariante, con órbitas periódicas eliminadas. [3]
Odómetro diádico
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Dyadic_odometer.svg/220px-Dyadic_odometer.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Dyadic_odometer%2C_twice_iterated.svg/220px-Dyadic_odometer%2C_twice_iterated.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/13/Dyadic_odometer_thrice_iterated.svg/220px-Dyadic_odometer_thrice_iterated.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Dyadic_odometer_iterated_four_times.svg/220px-Dyadic_odometer_iterated_four_times.svg.png)
El conjunto de todas las cadenas infinitas en cadenas en dos símbolos tiene una topología natural, la topología del producto , generada por los juegos de cilindros . La topología del producto se extiende a una sigma-álgebra de Borel ; dejardenotar ese álgebra. Puntos individuales se denotan como
El proceso de Bernoulli está dotado convencionalmente de una colección de medidas , las medidas de Bernnoulli, dadas por y , para algunos independiente de . El valor dees bastante especial; corresponde al caso especial de la medida Haar , cuandoes visto como un grupo abeliano compacto . ¡Tenga en cuenta que la medida de Bernoulli no es la misma que la medida 2-ádica en los enteros diádicos ! Formalmente, se puede observar quees también el espacio base para los enteros diádicos; sin embargo, los enteros diádicos están dotados de una métrica , la métrica p-ádica, que induce una topología métrica distinta de la topología de producto utilizada aquí.
El espacio se puede dotar de suma, definida como suma de coordenadas, con un bit de acarreo. Es decir, para cada coordenada, deje dónde y
por inducción. El incremento en uno se denomina odómetro (diádico) . Es la transformacion dada por , dónde . Se llama odómetro debido a cómo se ve cuando se "vuelca": es la transformación . Tenga en cuenta que y eso es -medible, es decir, para todos
La transformación no es singular para cada. Recuerde que una transformación medible no es singular cuando, dado , uno tiene eso si y solo si . En este caso, uno encuentra
dónde . Por eso no es singular con respecto a .
La transformación es ergódico . Esto se sigue porque, para cada y numero natural , la órbita de debajo es el set . Esto a su vez implica quees conservadora , ya que toda transformación ergódica no singular invertible en un espacio no atómico es conservadora.
Tenga en cuenta que para el caso especial de , que es un sistema dinámico que preserva las medidas .
Cuentakilómetros enteros
La misma construcción permite definir tal sistema para cada producto de espacios discretos . En general, se escribe
por con un entero. La topología del producto se extiende naturalmente al producto Borel sigma-álgebra en . Una medida de producto en se define convencionalmente como dada alguna medida en . El mapa correspondiente está definido por
dónde es el índice más pequeño para el que . Este es nuevamente un grupo topológico.
Un caso especial de esto es el odómetro Ornstein , que se define en el espacio
con la medida un producto de
Modelo de pila de arena
Un concepto estrechamente relacionado con el odómetro conservador es el del modelo de pila de arena abeliana . Este modelo reemplaza la secuencia lineal dirigida de grupos finitos construida anteriormente por un gráfico no dirigidode vértices y aristas. En cada vértice uno coloca un grupo finito con el grado del vértice. Las funciones de transición están definidas por el gráfico Laplaciano . Es decir, uno puede incrementar cualquier vértice dado en uno; al incrementar el elemento de grupo más grande (de modo que vuelva a aumentar hasta cero), cada uno de los vértices vecinos se incrementa en uno.
Los modelos de pilas de arena difieren de la definición anterior de un odómetro conservador en tres formas diferentes. Primero, en general, no hay un vértice único señalado como el vértice inicial, mientras que en lo anterior, el primer vértice es el vértice inicial; es el que se incrementa mediante la función de transición. A continuación, los modelos de pilas de arena en general utilizan bordes no dirigidos, de modo que la envoltura del odómetro se redistribuye en todas las direcciones. Una tercera diferencia es que los modelos de pilas de arena generalmente no se toman en un gráfico infinito, sino que hay un vértice especial señalado, el "sumidero", que absorbe todos los incrementos y nunca se envuelve. El sumidero equivale a cortar las partes infinitas de un gráfico infinito y reemplazarlas por el sumidero; alternativamente, ignorando todos los cambios más allá de ese punto de terminación.
Odómetro de Markov
Dejar ser un diagrama ordenado de Bratteli-Vershik , consiste en un conjunto de vértices de la forma (unión disjunta) donde es un singleton y en un conjunto de bordes (unión disjunta).
El diagrama incluye asignaciones de sobreyección de origen y asignaciones de sobreyección de rango . Asumimos que son comparables si y solo si .
Para tal diagrama, miramos el espacio del producto. equipado con la topología del producto . Defina "Bratteli – Vershik compactum" como el subespacio de caminos infinitos,
Suponga que existe solo un camino infinito por lo cual cada es máximo y de manera similar un camino infinito . Definir el "mapa Bratteli-Vershik" por y, para cualquier definir , dónde es el primer índice para el que no es máxima y, en consecuencia, deje ser el camino único por el cual son todos máximos y es el sucesor de . Luegoes el homeomorfismo de.
Dejar ser una secuencia de matrices estocásticas tal que si y solo si . Definir "medida de Markov" en los cilindros de por . Entonces el sistema se llama "odómetro de Markov".
Se puede demostrar que el odómetro no singular es un odómetro de Markov donde todos los son singletons.
Ver también
- Modelo de pila de arena abeliana
Referencias
- ^ Dooley, AH; Hamachi, T. (2003). "Sistemas dinámicos no singulares, diagramas de Bratteli y odómetros de Markov". Isr. J. Math . 138 : 93-123. doi : 10.1007 / BF02783421 .
- ^ Danilenko, Alexander I .; Silva, Cesar E. (2008). "Teoría ergódica: transformaciones no singulares". arXiv : 0803.2424 [ matemáticas.DS ].
- ^ a b c Nicol, Matthew; Petersen, Karl (2009). "Teoría ergódica: ejemplos básicos y construcciones" (PDF) . Enciclopedia de Complejidad y Ciencia de Sistemas . Saltador. doi : 10.1007 / 978-0-387-30440-3_177 . ISBN 978-0-387-30440-3.
Otras lecturas
- Aaronson, J. (1997). Una introducción a la teoría ergódica infinita . Estudios y monografías matemáticas. 50 . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 25–32. ISBN 9781470412814.
- Dooley, Anthony H. (2003). "Cuentakilómetros de Markov". En Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Temas de dinámica y teoría ergódica. Documentos de estudio y minicursos presentados en la conferencia internacional y el taller entre Estados Unidos y Ucrania sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, del 21 al 30 de agosto de 2000 . Lond. Matemáticas. Soc. Lect. Nota Ser. 310 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 60–80. ISBN 0-521-53365-1. Zbl 1063.37005 .