Medida invariante

En matemáticas , una medida invariante es una medida conservada por alguna función . La función puede ser una transformación geométrica . Por ejemplo, el ángulo circular es invariable bajo la rotación, el ángulo hiperbólico es invariante bajo el mapeo de compresión y una diferencia de pendientes es invariante bajo el mapeo de corte . ^[1]

La teoría ergódica es el estudio de medidas invariantes en sistemas dinámicos . El teorema de Krylov-Bogolyubov demuestra la existencia de medidas invariantes bajo ciertas condiciones sobre la función y el espacio en consideración.

Sea un espacio medible y sea una función medible de sí misma. Se dice que una medida on es invariante bajo si, para todo conjunto medible en${\ estilo de visualización (X, \ Sigma)}$${\ estilo de visualización f: X \ a X}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización \ mu}$${\ estilo de visualización (X, \ Sigma)}$ ${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización A}$${\ estilo de visualización \ Sigma,}$

En términos de la medida pushforward , esta establece que${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

La colección de medidas (generalmente medidas de probabilidad ) que son invariantes bajo a veces se denota La colección de medidas ergódicas , es un subconjunto de Además, cualquier combinación convexa de dos medidas invariantes también es invariante, por lo que es un conjunto convexo ; consiste precisamente en los puntos extremos de${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización M_ {f} (X).}$${\ estilo de visualización E_ {f} (X),}$${\ estilo de visualización M_ {f} (X).}$${\ estilo de visualización M_ {f} (X)}$${\ estilo de visualización E_ {f} (X)}$${\ estilo de visualización M_ {f} (X).}$

El mapeo comprimido deja el ángulo hiperbólico invariable a medida que mueve un sector hiperbólico (púrpura) a uno de la misma área. Los rectángulos azul y verde también mantienen la misma área.