Ergodicidad
En matemáticas , la ergodicidad expresa la idea de que un punto de un sistema en movimiento, ya sea un sistema dinámico o un proceso estocástico , eventualmente visitará todas las partes del espacio en el que se mueve el sistema, en un sentido uniforme y aleatorio. Esto implica que el comportamiento promedio del sistema se puede deducir de la trayectoria de un punto "típico". De manera equivalente, una colección suficientemente grande de muestras aleatorias de un proceso puede representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso. La ergodicidad es una propiedad del sistema; es una declaración de que el sistema no se puede reducir o factorizar en componentes más pequeños. La teoría ergódica es el estudio de sistemas que poseen ergodicidad.
Los sistemas ergódicos ocurren en una amplia gama de sistemas en física y geometría . Esto puede entenderse aproximadamente como debido a un fenómeno común: el movimiento de las partículas, es decir, las geodésicas en una variedad hiperbólica son divergentes; cuando esa variedad es compacta , es decir, de tamaño finito, esas órbitas regresan a la misma área general y eventualmente llenan todo el espacio .
Los sistemas ergódicos capturan las nociones cotidianas de sentido común de aleatoriedad, de modo que el humo puede llegar a llenar toda una habitación llena de humo, o que un bloque de metal eventualmente puede llegar a tener la misma temperatura en todas partes, o que cambia de lugar. una moneda justa puede salir cara y cruz la mitad del tiempo. Un concepto más fuerte que la ergodicidad es el de mezclar , cuyo objetivo es describir matemáticamente las nociones de sentido común de mezclar, como mezclar bebidas o mezclar ingredientes para cocinar.
La formulación matemática adecuada de la ergodicidad se basa en las definiciones formales de la teoría de la medida y los sistemas dinámicos , y más específicamente en la noción de un sistema dinámico que preserva la medida . Los orígenes de la ergodicidad se encuentran en la física estadística , donde Ludwig Boltzmann formuló la hipótesis ergódica .
La ergodicidad se produce en entornos amplios de la física y las matemáticas . Todas estas configuraciones están unificadas por una descripción matemática común, la del sistema dinámico que preserva la medida . Una descripción informal de esto, y una definición de ergodicidad con respecto a ella, se da inmediatamente a continuación. A esto le sigue una descripción de la ergodicidad en los procesos estocásticos . Son lo mismo, a pesar de usar notación y lenguaje dramáticamente diferentes.
La definición matemática de ergodicidad tiene como objetivo capturar las ideas cotidianas sobre la aleatoriedad . Esto incluye ideas sobre sistemas que se mueven de tal manera que (eventualmente) llenen todo el espacio, como la difusión y el movimiento browniano , así como nociones de sentido común de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, productos industriales . proceso de mezcla , humo en una habitación llena de humo, polvo en los anillos de Saturno, etc. Para proporcionar una base matemática sólida, las descripciones de los sistemas ergódicos comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva la medida . Esto está escrito como
