En el campo de las matemáticas conocido como análisis funcional , el problema del subespacio invariante es un problema parcialmente no resuelto que pregunta si cada operador acotado en un espacio de Banach complejo se envía algún subespacio cerrado no trivial a sí mismo. Se han resuelto muchas variantes del problema, restringiendo la clase de operadores acotados considerados o especificando una clase particular de espacios de Banach. El problema sigue abierto para los espacios de Hilbert separables (en otras palabras, todos los ejemplos encontrados de operadores sin subespacios invariantes no triviales actúan sobre espacios de Banach que no son espacios de Hilbert separables).
Historia
El problema parece haber sido planteado a mediados del siglo XX después del trabajo de Beurling y von Neumann , [1] quienes encontraron (pero nunca publicaron) una solución positiva para el caso de los operadores compactos . Luego fue planteado por Paul Halmos para el caso de los operadores tal que es compacto. Esto se resolvió afirmativamente, para la clase más general de operadores polinomialmente compactos (operadores tal que es un operador compacto para un polinomio distinto de cero adecuadamente elegido ), por Allen R. Bernstein y Abraham Robinson en 1966 (ver Análisis no estándar § Problema del subespacio invariante para un resumen de la demostración).
Para los espacios de Banach , el primer ejemplo de un operador sin un subespacio invariante fue construido por Per Enflo . Propuso un contraejemplo al problema del subespacio invariante en 1975, publicando un esquema en 1976. Enflo presentó el artículo completo en 1981 y la complejidad y extensión del artículo retrasaron su publicación hasta 1987 [2] El largo "manuscrito de Enflo tuvo una circulación mundial entre matemáticos " [1] y algunas de sus ideas fueron descritas en publicaciones además de Enflo (1976). [3] Las obras de Enflo inspiraron una construcción similar de un operador sin un subespacio invariante, por ejemplo, de Beauzamy, quien reconoció las ideas de Enflo. [2]
En la década de 1990, Enflo desarrolló un enfoque "constructivo" del problema del subespacio invariante en los espacios de Hilbert. [4]
Declaración precisa
Formalmente, el problema del subespacio invariante para un espacio de Banach complejo de dimensión > 1 es la cuestión de si todo operador lineal acotado tiene un no trivial cerrado -subespacio invariante : un subespacio lineal cerrado de , que es diferente de y de , tal que .
Una respuesta negativa al problema está estrechamente relacionada con las propiedades de las órbitas. . Si es un elemento del espacio Banach , la órbita de bajo la acción de , denotado por , es el subespacio generado por la secuencia . Esto también se llama-subespacio cíclico generado por. De la definición se sigue que es un -subespacio invariante. Además, es el mínimo -subespacio invariante que contiene : Si es otro subespacio invariante que contiene , entonces necesariamente para todos (desde es -invariante), y así . Si es distinto de cero, entonces no es igual a , por lo que su cierre es todo el espacio (en ese caso se dice que es un vector cíclico para) o es un no trivial -subespacio invariante. Por lo tanto, un contraejemplo del problema del subespacio invariante sería un espacio de Banach y un operador acotado para el cual cada vector distinto de cero es un vector cíclico para. (Donde un "vector cíclico" para un operador en un espacio de Banach significa uno para el que la órbita de es denso en .)
Casos especiales conocidos
Si bien el caso del problema del subespacio invariante para los espacios de Hilbert separables aún está abierto, se han resuelto varios otros casos para los espacios vectoriales topológicos (sobre el campo de los números complejos):
- Para espacios vectoriales complejos de dimensión finita de dimensión mayor que dos, cada operador admite un vector propio, por lo que tiene un subespacio invariante unidimensional.
- La conjetura es cierta si el espacio de Hilbert no es separable (es decir, si tiene una base ortonormal incontable ). De hecho, si es un vector distinto de cero en , el cierre normativo de la órbita lineal es separable (por construcción) y, por tanto, un subespacio propio y también invariante.
- von Neumann demostró [5] que cualquier operador compacto en un espacio de Hilbert de dimensión al menos 2 tiene un subespacio invariante no trivial.
- El teorema espectral muestra que todos los operadores normales admiten subespacios invariantes.
- Aronszajn y Smith (1954) demostraron que todo operador compacto en cualquier espacio de Banach de dimensión al menos 2 tiene un subespacio invariante.
- Bernstein y Robinson (1966) demostraron utilizando un análisis no estándar que si el operador en un espacio de Hilbert es polinomialmente compacto (en otras palabras es compacto para algún polinomio distinto de cero ) luego tiene un subespacio invariante. Su demostración usa la idea original de incrustar el espacio de Hilbert de dimensión infinita en un espacio de Hilbert de dimensión hiperfinita (ver Análisis no estándar # Problema del subespacio invariante ).
- Halmos (1966) , después de haber visto la preimpresión de Robinson, eliminó el análisis no estándar y proporcionó una prueba más breve en el mismo número de la misma revista.
- Lomonosov (1973) dio una prueba muy breve utilizando el teorema del punto fijo de Schauder de que si el operador en un espacio de Banach se desplaza con un operador compacto distinto de cero, luego tiene un subespacio invariante no trivial. Esto incluye el caso de los operadores polinomialmente compactos porque un operador conmuta con cualquier polinomio en sí mismo. De manera más general, mostró que si conmuta con un operador no escalar que conmuta con un operador compacto distinto de cero, luego tiene un subespacio invariante. [6]
- El primer ejemplo de un operador en un espacio de Banach sin subespacios invariantes no triviales fue encontrado por Per Enflo ( 1976 , 1987 ), y su ejemplo fue simplificado por Beauzamy (1985) .
- El primer contraejemplo de un espacio de Banach "clásico" fue encontrado por Charles Read ( 1984 , 1985 ), quien describió un operador en el espacio de Banach clásico. sin subespacios invariantes.
- Posteriormente, Charles Read ( 1988 ) construyó un operador enincluso sin un subconjunto invariante cerrado no trivial , es decir, para cada vectorel set es denso, en cuyo caso el vector se llama hipercíclico (la diferencia con el caso de los vectores cíclicos es que no estamos tomando el subespacio generado por los puntos en este caso).
- Atzmon (1983) dio un ejemplo de un operador sin subespacios invariantes en un espacio Fréchet nuclear .
- Śliwa (2008) demostró que cualquier espacio de Banach de dimensión infinita de tipo contable sobre un campo no arquimediano admite un operador lineal acotado sin un subespacio invariante cerrado no trivial. Esto resuelve por completo la versión no arquimediana de este problema, planteada por van Rooij y Shikhof en 1992.
- Argyros y Haydon (2009) dio la construcción de un espacio de Banach de dimensión infinita tal que cada operador continuo es la suma de un operador compacto y un operador escalar, por lo que, en particular, cada operador tiene un subespacio invariante.
Notas
- ↑ a b Yadav (2005) , p. 292.
- ↑ a b Beauzamy (1988) ; Yadav (2005) .
- ^ Ver, por ejemplo, Radjavi & Rosenthal (1982) .
- ^ Página 401 en Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). "Sobre operadores cuasinilpotentes. III". Revista de teoría del operador . 54 (2): 401–414.. El método de Enflo de ("adelante") "vectores mínimos" también se menciona en la revisión de este artículo de investigación de Gilles Cassier en Mathematical Reviews : MR2186363
- ↑ La prueba de Von Neumann nunca se publicó, como se transmitió en una comunicación privada a los autores de Aronszajn & Smith (1954) . Una versión de esa prueba, descubierta independientemente por Aronszajn, se incluye al final de ese documento.
- ^ Véase Pearcy & Shields (1974) para una revisión.
Referencias
- Abramovich, Yuri A .; Aliprantis, Charalambos D. (2002), Una invitación a la teoría del operador , Estudios de posgrado en matemáticas , 50 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090 / gsm / 050 , ISBN 978-0-8218-2146-6, MR 1921782
- Argyros, Spiros A .; Haydon, Richard G. (2011), "Un espacio L ∞ hereditariamente indecomposible que resuelve el problema escalar más compacto", Acta Math. , 206 (1): 1–54, arXiv : 0903.3921 , doi : 10.1007 / s11511-011-0058-y , MR 2784662
- Aronszajn, N .; Smith, KT (1954), "Subespacios invariantes de operadores completamente continuos", Annals of Mathematics , Second Series, 60 (2): 345–350, doi : 10.2307 / 1969637 , JSTOR 1969637 , MR 0065807
- Atzmon, Aharon (1983), "Un operador sin subespacios invariantes en un espacio Fréchet nuclear", Annals of Mathematics , Second Series, 117 (3): 669–694, doi : 10.2307 / 2007039 , JSTOR 2007039 , MR 0701260
- Beauzamy, Bernard (1985), "Un opérateur sans sous-espace invariant: simplification de l'exemple de P. Enflo" [Un operador sin subespacio invariante: simplificación del ejemplo de P. Enflo], Ecuaciones integrales y teoría del operador ( en francés), 8 (3): 314–384, doi : 10.1007 / BF01202903 , MR 0792905
- Beauzamy, Bernard (1988), Introducción a la teoría de operadores y subespacios invariantes , North-Holland Mathematical Library, 42 , Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-70521-1, MR 0967989
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