Transformada de dispersión inversa

En matemáticas , la transformada de dispersión inversa es un método para resolver algunas ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El método es un análogo no lineal, y en cierto sentido una generalización, de la transformada de Fourier , que a su vez se aplica para resolver muchas ecuaciones diferenciales parciales lineales. El nombre "método de dispersión inversa" proviene de la idea clave de recuperar la evolución temporal de un potencial a partir de la evolución temporal de sus datos de dispersión: la dispersión inversa se refiere al problema de recuperar un potencial de su matriz de dispersión, en contraposición a la dispersión directa. problema de encontrar la matriz de dispersión del potencial.

La transformada de dispersión inversa se puede aplicar a muchos de los llamados modelos exactamente solubles , es decir, sistemas de dimensión infinita completamente integrables .

Visión general

La transformada de dispersión inversa fue introducida por primera vez por Clifford S. Gardner, John M. Greene y Martin D. Kruskal et al. ( 1967 , 1974 ) para la ecuación de Korteweg-de Vries , y pronto se extendió a la ecuación no lineal de Schrödinger , la ecuación de Sine-Gordon y la ecuación reticular de Toda . Más tarde se utilizó para resolver muchas otras ecuaciones, como la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , la ecuación de Ishimori , la ecuación de Dym , etc. Una familia adicional de ejemplos la proporcionan las ecuaciones de Bogomolny (para un grupo de calibre dado y el triple de Riemann orientado), el${\displaystyle L^{2}}$soluciones de las cuales son monopolos magnéticos .

Una característica de las soluciones obtenidas por el método de dispersión inversa es la existencia de solitones , soluciones que se asemejan tanto a partículas como a ondas, que no tienen análogo para las ecuaciones diferenciales parciales lineales. El término "solitón" surge de la óptica no lineal.

El problema de la dispersión inversa se puede escribir como un problema de factorización de Riemann-Hilbert , al menos en el caso de ecuaciones de una dimensión espacial. Esta formulación se puede generalizar a operadores diferenciales de orden superior a 2 y también a potenciales periódicos. En dimensiones espaciales superiores, uno tiene en cambio un problema de factorización "no local" de Riemann-Hilbert (con convolución en lugar de multiplicación) o un problema de barra d.

Ejemplo: la ecuación de Korteweg – de Vries

La ecuación de Korteweg-de Vries es una ecuación diferencial parcial de evolución dispersiva no lineal para una función u ; de dos variables reales , una variable de espacio x y una variable de tiempo t  :

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

con y denotando derivadas parciales con respecto a t y x , respectivamente.${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle u_{x}}$

Para resolver el problema del valor inicial de esta ecuación donde hay una función conocida de x , se asocia a esta ecuación la ecuación de valores propios de Schrödinger${\displaystyle u(x,0)}$

${\displaystyle \psi _{xx}-u\psi =\lambda \psi .}$

donde es una función desconocida de t y x y u es la solución de la ecuación de Korteweg-de Vries que se desconoce excepto en . La constante es un valor propio.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \lambda }$

De la ecuación de Schrödinger obtenemos

${\displaystyle u={\frac {1}{\psi }}\psi _{xx}-\lambda .}$

Sustituyendo esto en la ecuación de Korteweg-de Vries e integrando da la ecuación

${\displaystyle \psi _{t}+\psi _{xxx}-3(u-\lambda )\psi _{x}=C\psi +D\psi \int {\frac {1}{\psi ^{2}}}dx}$

donde C y D son constantes.

Método de solución

Paso 1. Determine la ecuación diferencial parcial no lineal. Por lo general, esto se logra analizando la física de la situación que se está estudiando.

Paso 2. Emplee la dispersión hacia adelante . Consiste en encontrar el par Lax . El par Lax consta de dos operadores lineales , y , tales que y . Es extremadamente importante que el valor propio sea ​​independiente del tiempo; es decir, las condiciones necesarias y suficientes para que esto ocurra se determinan de la siguiente manera: tome la derivada de tiempo de para obtener${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Lv=\lambda v}$${\displaystyle v_{t}=Mv}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda _{t}=0.}$${\displaystyle Lv=\lambda v}$

${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.}$

Conectarse para obtener rendimientos${\displaystyle Mv}$${\displaystyle v_{t}}$

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.}$

Reorganizar en el término de la extrema derecha nos da

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle L_{t}v+LMv-MLv=\lambda _{t}v.}$

Dado que , esto implica que si y solo si${\displaystyle v\not =0}$${\displaystyle \lambda _{t}=0}$

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=0.\,}$

Esta es la ecuación de Lax . En la ecuación de Lax es que es la derivada en el tiempo de precisamente de donde depende explícitamente . La razón para definir la diferenciación de esta manera está motivada por la instancia más simple de , que es el operador de Schrödinger (ver la ecuación de Schrödinger ):${\displaystyle L_{t}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\partial _{xx}+u,}$

donde u es el "potencial". La comparación de la expresión con nos muestra que ignorando así el primer término.${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}}$${\displaystyle \partial _{t}\left(v_{xx}+uv\right)}$${\displaystyle L_{t}=u_{t},}$

Después de confeccionar el par Lax apropiado, debería darse el caso de que la ecuación de Lax recupere la PDE no lineal original.

Paso 3. Determinar la evolución en el tiempo de las funciones propias asociadas a cada valor propio , las constantes normativas y el coeficiente de reflexión, comprendiendo los tres los denominados datos de dispersión. Esta evolución temporal viene dada por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que pueden resolverse.${\displaystyle \lambda }$

Paso 4. Realice el procedimiento de dispersión inversa resolviendo la ecuación integral de Gelfand-Levitan-Marchenko ( Israel Moiseevich Gelfand y Boris Moiseevich Levitan ; ^[1] Vladimir Aleksandrovich Marchenko ^[2] ), una ecuación integral lineal , para obtener la solución final de la PDE no lineal original. Se requieren todos los datos de dispersión para hacer esto. Si el coeficiente de reflexión es cero, el proceso se vuelve mucho más fácil. Este paso funciona si es un operador diferencial o diferencia de orden dos, pero no necesariamente para órdenes superiores. En todos los casos, sin embargo, el problema de la dispersión inversa se puede reducir a un${\displaystyle L}$Problema de factorización de Riemann-Hilbert . (Véase Ablowitz-Clarkson (1991) para cualquier enfoque. Véase Marchenko (1986) para un tratamiento matemático riguroso.)

Ejemplos de ecuaciones integrables

• Ecuación de Korteweg – de Vries
• ecuación de Schrödinger no lineal
• Ecuación de Camassa-Holm
• Ecuación de Sine-Gordon
• Toda la celosía
• Ecuación de Ishimori
• Ecuación de dym

Se pueden encontrar más ejemplos de ecuaciones integrables en el artículo Sistema integrable .

Referencias

1. Gel'fand, IM & Levitan, BM, "Sobre la determinación de una ecuación diferencial de su función espectral". Traducciones de la Sociedad Americana de Matemáticas, (2) 1: 253–304, 1955.
2. VA Marchenko, "Operadores y aplicaciones de Sturm-Liouville", Birkhäuser, Basilea, 1986.

• M. Ablowitz, H. Segur, Solitones y la transformada de dispersión inversa , SIAM, Filadelfia, 1981.
• N. Asano, Y. Kato, Métodos algebraicos y espectrales para ecuaciones de onda no lineales , Longman Scientific & Technical, Essex, Inglaterra, 1990.
• M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitones, ecuaciones de evolución no lineal y dispersión inversa , Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
• Gardner, Clifford S .; Greene, John M .; Kruskal, Martin D .; Miura, Robert M. (1967), "Método para resolver la ecuación de Korteweg-deVries", Physical Review Letters , 19 : 1095–1097, Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G , doi : 10.1103 / PhysRevLett.19.1095
• Gardner, Clifford S .; Greene, John M .; Kruskal, Martin D .; Miura, Robert M. (1974), "Ecuación y generalización de Korteweg-deVries. VI. Métodos para la solución exacta", Comm. Pure Appl. Matemáticas. , 27 : 97–133, doi : 10.1002 / cpa.3160270108 , MR  0336122
• VA Marchenko, "Operadores y aplicaciones de Sturm-Liouville", Birkhäuser, Basilea, 1986.
• J. Shaw, Principios matemáticos de las comunicaciones por fibra óptica , SIAM, Filadelfia, 2004.
• Eds: RK Bullough, PJ Caudrey. Temas de "solitones" en la física actual 17. Springer Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1980.

enlaces externos

• "Documento de introducción a las matemáticas sobre IST" (PDF) . (300  KiB )
• Transformada de dispersión inversa y teoría de los solitones