En geometría , la inversión en una esfera es una transformación del espacio euclidiano que fija los puntos de una esfera mientras envía los puntos dentro de la esfera al exterior de la esfera, y viceversa. Intuitivamente, "intercambia el interior y el exterior" de la esfera mientras deja los puntos en la esfera sin cambios. La inversión es una transformación conforme y es la operación básica de la geometría inversa ; es una generalización de la inversión en un círculo .
Definición
La inversión en una esfera se describe más fácilmente utilizando coordenadas polares . Elija un sistema de coordenadas afines para que el centro de la esfera esté en el origen y el radio de la esfera sea 1. Luego, cada punto se puede escribir en la forma r v , donde r es la distancia desde el punto al origen y v es un vector unitario ; además, para cada punto, excepto el origen, esta representación es única. Dada tal representación de un punto, su imagen bajo inversión esférica se define como el punto r −1 v . Esto define un homeomorfismo dea sí mismo. Como mapa del espacio euclidiano a sí mismo, el mapa de inversión esférica no está definido en el origen, pero podemos extenderlo a, la compactificación de un punto de, especificando que 0 debe enviarse al infinito y el infinito debe enviarse a 0. Por lo tanto, la inversión esférica se puede considerar como un homeomorfismo de .
Propiedades
La inversión es autoinversa y fija los puntos que se encuentran en la esfera. La inversa de una línea es un círculo que pasa por el centro de la esfera de referencia y viceversa. La inversa de un plano es una esfera que pasa por el centro de la esfera de referencia y viceversa. De lo contrario, la inversa de un círculo es un círculo; la inversa de una esfera es una esfera.
La inversión en una esfera es una poderosa transformación. Un ejemplo sencillo es la proyección de mapas . La proyección habitual del Polo Norte o Sur ( proyección estereográfica ) es una inversión de la Tierra a un plano. Si en lugar de hacer que un polo sea el centro, elegimos una ciudad, entonces Inversion podría producir un mapa donde todas las rutas más cortas (grandes círculos) para volar desde esa ciudad aparecerían como líneas rectas, lo que simplificaría la ruta de vuelo, para los pasajeros en menos.
Pruebas
Sea Σ la esfera de referencia, con el centro O y el radio r denotados por {O, r}. Todas las inversas, en este artículo, están en la esfera Σ.
Los resultados de este artículo dependen de tres ideas simples:
- 1. Triángulos similares: Un modelo a escala tiene la misma forma que el original, es decir, se mantienen todos los ángulos.
- 2. El ángulo de un semicírculo es un ángulo recto. es decir, para cualquier punto de un semicírculo, la diagonal forma un ángulo recto (90 ° ).
- 3. Los ángulos de un triángulo suman 180 o , por lo que un ángulo externo es igual a la suma de los otros dos ángulos internos.
Definición
- Sea P un punto a una distancia n> 0 de O.
- Si P 'es un punto en OP, en la misma dirección que OP, tal que OP.OP' = r 2 , entonces P y P 'son puntos inversos
- Si n> r, entonces OP '
,> - Los puntos en la superficie de Σ son los únicos puntos autoinversos.
Construcción
- Como en la inversión en un círculo, la construcción habitual, para un punto, P, fuera de la esfera, es tomar cualquier plano a través de OP,
dibujar tangentes, en el plano, de P a Σ, encontrándolo en S, T. - La intersección del acorde ST con OP da P '. (Los triángulos OPS, OSP 'son similares).
- Para un punto P dentro de Σ, tome un plano que pase por OP, dibuje una cuerda de la esfera en ese plano, normal a OP en P, encontrando Σ, en S, T.
- Dibuja tangentes en el plano que se encuentren en P ', la inversa de P.
- En cualquier caso, los triángulos rectángulos, OPT, OTP 'son similares, entonces OP / OT = OT / OP'
(Ver figura 1)
Inversión de un par de puntos
- Dados dos puntos A, B con inversos A ', B'; OA'.OA = r 2 , OB'.OB = r 2 .
- Entonces OA '/ OB' = OB / OA.
- Dado que ∠AOB es ∠B'OA ', los triángulos AOB, B'OA' son similares.
- Entonces ∠OAB = ∠OB'A ', ∠OBA = ∠OA'B'.
(Ver figura 2)
Inversa de una línea
- Si la línea interseca Σ, entonces solo los dos puntos de intersección son autoinversos.
- Si O se encuentra en la línea, entonces la línea es auto inversa;
- Demás,
- Sea P el pie de la perpendicular de O a la recta, con P 'inversa, y sea X cualquier punto de la recta, con X' inversa,
- Por 'Inversión de un par de puntos', ∠OX'P '= ∠OPX = 90 o .
- Entonces X 'se encuentra en un círculo que pasa por O, con OP' como diámetro. (El ángulo en un semicírculo es un ángulo recto)
(Ver figura 3)
Nota 4: Generalmente, la inversa de una línea es un círculo que pasa por el centro de referencia.
Inverso de un plano
- Si el plano interseca Σ, entonces cada punto del círculo de intersección es autoinverso.
- Si O se encuentra en el plano, el inverso es el plano;
- Demás:
- Sea el pie de la perpendicular de O al plano P con inversa P '.
- Sea X cualquier punto del plano con inversa X '.
- Por 'Inversión de un par de puntos', ∠OX'P '= ∠OPX = 90 o .
- X 'se encuentra en una esfera con diámetro OP' (el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto)
Nota 5: Generalmente, la inversa de un plano es una esfera que pasa por el centro de referencia.
Inversa de una esfera
- Sea la esfera {A, a}, es decir, el centro A y el radio a> 0.
- Si la esfera {A, a} interseca Σ, los únicos puntos autoinversos están en el círculo de intersección.
- Si A está en O, entonces la inversa de la esfera {A, a} es una esfera concéntrica con radio r 2 / a;
- (Trivialmente, si a = r, entonces cada punto en {A, a} es auto-inverso).
- Demás
- si O se encuentra en la esfera {A, a},
- Entonces sea P un punto diametralmente opuesto a O en la esfera {A, a}, siendo P 'la inversa de P.
- Sea X cualquier punto de la esfera {A, a}, con X 'como inverso.
- Luego por 'Inversión de un par de puntos' ∠OP'X '= ∠OXP = 90 o (ángulo en un semicírculo).
- Esto es cierto para todos los puntos de la esfera {A, a}.
- Entonces X 'se encuentra en un plano que pasa por P' normal a OP '.
- Demás,
- Sean S, T las intersecciones de OA y la esfera {A, a}, con S ', T' sus inversas.
- ST es un diámetro de {A, a}.
- Sea X cualquier punto de la esfera {A, a}, con X 'inversa.
- ∠OXT = ∠OT'X 'y ∠OXS = ∠OS'X'. (inverso de un par de puntos)
- Si T, S se encuentran en el mismo lado de O.
- ∠T'X'S '= ∠OX'S' - ∠OX'T '
- = ∠OSX - ∠OTX (Inversión de un par de puntos).
- = ∠TXS (el ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos)
- = 90 o (el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto)
- Entonces X 'se encuentra en un semicírculo, con T'S' como diámetro.
- Esto es cierto para todos los puntos de la esfera {A, a}.
- Entonces X 'se encuentra en una esfera, con T'S' como diámetro.
(Ver figura 4)
- Si T, S se encuentran en lados opuestos de O:
- ∠OXT + ∠OXS = 90 o (el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto).
- ∠T'X'S '= ∠OX'T' + ∠OX'S '
- = ∠OTX + ∠OSX (inverso de un par de puntos).
- = 180 o - ∠TXS (los ángulos en un triángulo suman 180 o )
- Entonces ∠T'X'S '= 90 o , y X' se encuentra en un semicírculo, con T'S 'como diámetro (el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto).
- Como antes:
- Esto es cierto para todos los puntos de la esfera {A, a}.
- Entonces X 'se encuentra en una esfera, con T'S' como diámetro.
(Ver figura 5)
Nota 6: Generalmente, la inversa de una esfera es una esfera
(la única excepción es cuando el centro de la esfera de referencia se encuentra en la esfera).
Inverso de un círculo
- Sea el círculo c, con centro C y radio a, apoyado en un plano ψ.
- Si c interseca la esfera, los únicos puntos autoinversos son esas dos intersecciones.
- Sean S, T los puntos más cercanos y más lejanos de c, desde O, (es decir, OT> OS), con T ', S' sus inversos,
- Si C está en O, entonces la inversa de c es un círculo concéntrico con radio r 2 / a;
- Demás
- si O se encuentra en c,
- Entonces sea OP un diámetro de c, siendo P 'la inversa de P.
- Sea X cualquier punto del círculo, con X 'inversa.
- Por 'Inversión de un par de puntos', ∠OP'X '= ∠OXP = 90 o .
- La inversa de los puntos del círculo se encuentra en una línea en el plano de c, normal a OP ';
- Demás
- Si O se encuentra en el plano de c, entonces c es un gran círculo de esfera {C, a}, en un plano que pasa por O, S, T, por lo que los argumentos que se aplican a la inversa de una esfera también se aplican a la inversa del círculo c , con resultados similares a todos los de la Sección 6.
(Véanse las figuras 3, 4, 5)
- Demás,
- en el caso general, donde O no está en ψ, el plano de c;
- Sean A, B dos puntos en una recta que pasa por C, perpendiculares a ψ.
- Sean Λ, Ω dos esferas a través de c, con centros A, B, ni a través de O.
- Deje que las esferas, Λ ', Ω', sean las inversas de Λ, Ω (consulte la Nota 6).
- Cada punto de la inversa de c se encuentra tanto en Λ 'como en Ω'.
- La intersección de las esferas Λ ', Ω' es un círculo c ', digamos, el inverso de c.
- Si O está en la línea AB, el cono de proyección es circular recto,
- y si c se encuentra en la esfera Σ, entonces cada punto de c es autoinverso;
Nota 7: Generalmente, la inversa de un círculo es un círculo.
- (La única excepción es cuando el centro de la esfera de referencia se encuentra en el círculo.
Resultados de la inversión en una esfera.
- Una línea que pasa por el centro de inversión es autoinversa.
- Generalmente, la inversa de una línea es un círculo que pasa por el centro de inversión.
- La inversa de un círculo que pasa por el centro de inversión es una línea.
- Generalmente, la inversa de un círculo es un círculo.
- Un plano que pasa por el centro de inversión es autoinverso.
- Generalmente, la inversa de un plano es una esfera que pasa por el centro de inversión.
- La inversa de una esfera que pasa por el centro de inversión es un plano.
- Generalmente, la inversa de una esfera es una esfera.
Ver también
- Geometría inversora
- Curva inversa
- Inversión de curvas y superficies (alemán)