En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de anillos , el término anillo irreducible se utiliza de diferentes formas.
- Un anillo ( encuentro ) irreducible es aquel en el que la intersección de dos ideales distintos de cero es siempre distinto de cero.
- Un anillo directamente irreducible es un anillo que no se puede escribir como la suma directa de dos anillos distintos de cero.
- Un anillo subdirectamente irreducible es un anillo con un ideal único de dos caras mínimo distinto de cero.
Los anillos "irreductibles por encuentro" se denominan "anillos irreducibles" en álgebra conmutativa . Este artículo adopta el término "encuentro irreductible" para distinguir entre los varios tipos que se están discutiendo.
Los anillos de encuentro irreductibles juegan un papel importante en el álgebra conmutativa, y los anillos directamente irreducibles y subdirectamente irreductibles juegan un papel en la teoría general de la estructura de los anillos. Las álgebras subdirectamente irreductibles también han encontrado uso en la teoría de números .
Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen identidad multiplicativa , pero no son necesariamente conmutativos .
Definiciones
Los términos "reunirse-reducible", "directamente reducible" y "subdirectamente reducible" se usan cuando un anillo no es completamente irreducible, o no es directamente irreducible o no subdirectamente irreducible, respectivamente.
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo conmutativo R :
- R es irreducible al encuentro;
- el ideal cero en R es irreducible , es decir, la intersección de dos ideales distintos de cero de A siempre es diferente de cero.
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo conmutativo R :
- R posee exactamente un ideal primo mínimo (este ideal primo puede ser el ideal cero);
- el espectro de R es irreducible .
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :
- R es directamente irreducible;
- R no tiene idempotentes centrales excepto 0 y 1.
Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :
- R es subdirectamente irreductible;
- cuando R se escribe como un producto subdirecto de anillos, entonces una de las proyecciones de R sobre un anillo en el producto subdirecto es un isomorfismo;
- La intersección de todos los ideales distintos de cero de R es diferente de cero.
Ejemplos y propiedades
Si R es subdirectamente irreducible o irreductible, entonces también es directamente irreducible, pero lo inverso no es cierto.
- Todos los dominios integrales son irreductibles y subdirectamente irreductibles. De hecho, un anillo conmutativo es un dominio si y solo si es tanto irreductible como reducido .
- El anillo cociente Z / (4 Z ) es un anillo que tiene los tres sentidos de irreductibilidad, pero no es un dominio. Su único ideal apropiado es (2 Z ) / (4 Z ), que es máximo, por lo tanto, primo. Lo ideal también es mínimo.
- El producto directo de dos anillos distintos de cero nunca es directamente irreducible y, por lo tanto, nunca es irreducible o subdirectamente irreducible. Por ejemplo, en Z × Z la intersección de los ideales distintos de cero {0} × Z y Z × {0} es igual al ideal cero {0} × {0}.
- Los anillos conmutativos directamente irreductibles son anillos conectados ; es decir, sus únicos elementos idempotentes son 0 y 1.
Generalizaciones
Los anillos conmutativos irreductibles de encuentro juegan un papel elemental en la geometría algebraica , donde este concepto se generaliza al concepto de un esquema irreducible .