En matemáticas , se dice que un ideal propio de un anillo conmutativo es irreductible si no puede escribirse como la intersección de dos ideales estrictamente mayores. [1]
Ejemplos de
- Todo ideal primordial es irreductible. [2] Dejemos que dos ideales estar contenido en algún anillo conmutativo . Si la intersección es un ideal no trivial, entonces existen algunos elementos y , donde ninguno está en la intersección pero el producto está, lo que significa que un ideal reducible no es primo. Un ejemplo concreto de esto son los ideales y contenida en . La intersección es, y no es un ideal primordial.
- Todo ideal irreductible de un anillo noetheriano es un ideal primario , [1] y, en consecuencia, para los anillos noetherianos una descomposición irreducible es una descomposición primaria . [3]
- Todo ideal primario de un dominio ideal principal es un ideal irreductible.
- Todo ideal irreductible es primordial . [4]
Propiedades
Un elemento de un dominio integral es primo si y solo si el ideal generado por él es un ideal primo distinto de cero. Esto no es cierto para los ideales irreductibles; un ideal irreductible puede ser generado por un elemento que no es un elemento irreductible , como es el caso en por el ideal ya que no es la intersección de dos ideales estrictamente mayores.
Un I ideal de un anillo R puede ser irreductible solo si el conjunto algebraico que define es irreducible (es decir, cualquier subconjunto abierto es denso) para la topología de Zariski , o de manera equivalente si el espacio cerrado de la especificación R que consta de ideales primos que contienen I es irreductible para la topología espectral . Lo contrario no se sostiene; por ejemplo, el ideal de polinomios en dos variables con términos de fuga de primer y segundo orden no es irreducible.
Si k es un campo algebraicamente cerrado , elegir el radical de un ideal irreducible de un anillo polinomial sobre k es exactamente lo mismo que elegir una incrustación de la variedad afín de su Nullstelle en el espacio afín.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Miyanishi, Masayoshi (1998), Geometría algebraica , Traducciones de monografías matemáticas, 136 , American Mathematical Society, p. 13, ISBN 9780821887707.
- ^ Knapp, Anthony W. (2007), Álgebra avanzada , Piedras angulares, Springer, pág. 446, ISBN 9780817645229.
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. págs. 683–685. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Fuchs, Ladislas (1950), "Sobre los ideales primordiales", Proceedings of the American Mathematical Society , 1 : 1–6, doi : 10.2307 / 2032421 , MR 0032584. Teorema 1, pág. 3.