En matemáticas , los anillos son estructuras algebraicas que generalizan campos : la multiplicación no necesita ser conmutativa y los inversos multiplicativos no necesitan existir. En otras palabras, un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias que satisfacen propiedades análogas a las de la suma y multiplicación de números enteros . Los elementos del anillo pueden ser números como enteros o números complejos , pero también pueden ser objetos no numéricos como polinomios ,matrices cuadradas , funciones y series de potencias .
Formalmente, un anillo es un grupo abeliano cuya operación se llama suma , con una segunda operación binaria llamada multiplicación que es asociativa , es distributiva sobre la operación de suma y tiene un elemento de identidad multiplicativo . (Algunos autores utilizan el término "anillo" para referirse a la estructura más general que omite este último requisito; ver § Notas sobre la definición ).
Si un anillo es conmutativo (es decir, si el orden en el que se multiplican dos elementos puede cambiar el resultado) tiene profundas implicaciones en su comportamiento. El álgebra conmutativa , la teoría de los anillos conmutativos , es una rama importante de la teoría de los anillos . Su desarrollo ha estado muy influenciado por problemas e ideas de la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica . Los anillos conmutativos más simples son los que admiten la división por elementos distintos de cero; tales anillos se llaman campos .
Ejemplos de anillos conmutativos incluyen el conjunto de números enteros con su suma y multiplicación estándar, el conjunto de polinomios con su suma y multiplicación, el anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín y el anillo de números enteros de un campo numérico. Ejemplos de anillos no conmutativos incluyen el anillo de n × n matrices cuadradas reales con n ≥ 2 , anillos de grupo en teoría de representación , álgebras de operadores en análisis funcional , anillos de operadores diferenciales y anillos de cohomología entopología .
La conceptualización de los anillos abarcó la década de 1870 hasta la de 1920, con contribuciones clave de Dedekind , Hilbert , Fraenkel y Noether . Los anillos se formalizaron por primera vez como una generalización de los dominios de Dedekind que ocurren en la teoría de números , y de los anillos polinomiales y los anillos de invariantes que ocurren en la geometría algebraica y la teoría de invariantes . Posteriormente resultaron útiles en otras ramas de las matemáticas como la geometría y el análisis .
Un anillo es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias [a] + (suma) y ⋅ (multiplicación) que satisfacen los siguientes tres conjuntos de axiomas, llamados axiomas del anillo [1] [2] [3]