En geometría , un antiparallelogram es un tipo de auto-cruzar cuadrilátero . Como un paralelogramo , un antiparalelogramo tiene dos pares opuestos de lados de igual longitud, pero los lados del par más largo se cruzan como en un mecanismo de tijeras . Los antiparalelogramos también se denominan contraparalelogramos [1] o paralelogramos cruzados . [2]
Un antiparalelogramo es un caso especial de cuadrilátero cruzado , que generalmente tiene bordes desiguales. [3] Una forma especial del antiparalelogramo es un rectángulo cruzado , en el que dos bordes opuestos son paralelos.
Propiedades
Todo antiparalelogramo tiene un eje de simetría a través de su punto de cruce. Debido a esta simetría, tiene dos pares de ángulos iguales y dos pares de lados iguales. [2] Junto con las cometas y los trapezoides isósceles , los antiparalelogramas forman una de las tres clases básicas de cuadriláteros con un eje de simetría. El casco convexo de un antiparalelograma es un trapezoide isósceles, y cada antiparalelograma puede formarse a partir de los lados y diagonales no paralelos de un trapezoide isósceles. Como caso especial, también se puede formar un antiparalelograma a partir de las diagonales y cualquier par de lados de un rectángulo . [4]
Cada antiparalelogramo es un cuadrilátero cíclico , lo que significa que sus cuatro vértices se encuentran en un solo círculo .
En poliedros
Varios poliedros uniforme no convexo , incluyendo el tetrahemihexahedron , cubohemioctahedron , octahemioctahedron , pequeño rhombihexahedron , pequeño icosihemidodecahedron , y pequeña dodecahemidodecahedron , tiene antiparallelograms como sus figuras de vértice , las secciones transversales formadas por cortado del poliedro por un plano que pasa cerca de un vértice, perpendicularmente a el eje entre el vértice y el centro. [5]
Para poliedros uniformes de este tipo en los que las caras no pasan por el punto central del poliedro, el poliedro dual tiene antiparalelogramos como caras; ejemplos de poliedros uniformes duales con caras antiparalelogramo incluyen el pequeño rombihexacrón , el gran rombihexacrón , el pequeño rombidodecacrón , el gran rombidodecacrón , el pequeño dodecicosacrón y el gran dodecicosacrón . Los antiparalelogramas que forman las caras de estos poliedros uniformes duales son los mismos antiparalelogramas que forman la figura del vértice del poliedro uniforme original.
Una forma de poliedro no uniforme pero flexible , el octaedro de Bricard , se puede construir como una doble pirámide sobre un antiparalelogramo. [6]
Vínculos de cuatro barras
El antiparalelogramo se ha utilizado como una forma de articulación de cuatro barras , en la que cuatro vigas rígidas de longitud fija (los cuatro lados del antiparalelogramo) pueden rotar entre sí en las articulaciones colocadas en los cuatro vértices del antiparalelogramo. En este contexto, también se le llama enlace de mariposa o de pajarita . Como enlace, tiene un punto de inestabilidad en el que se puede convertir en un paralelogramo y viceversa.
Si uno de los bordes cortos (no cruzados) de un enlace antiparalelograma está fijo en su lugar, y el enlace restante se mueve libremente, entonces el punto de cruce del antiparalelograma traza una elipse que tiene los extremos del borde fijo como focos. El otro borde corto en movimiento del antiparalelogramo tiene como puntos finales los focos de otra elipse en movimiento, formada a partir del primero por reflexión a través de una línea tangente a través del punto de cruce. [2] [7]
Tanto para los enlaces paralelogramo como antiparalelogramo, si uno de los bordes largos (cruzados) del enlace se fija como base, las articulaciones libres se mueven en círculos iguales, pero en un paralelogramo se mueven en la misma dirección con velocidades iguales mientras están en el antiparalelogramo se mueven en direcciones opuestas con velocidades desiguales. [8] Como descubrió James Watt , si un antiparalelogramo tiene su lado largo fijo de esta manera, formará una variante del enlace de Watt , y el punto medio del borde largo sin fijar trazará una lemniscata o curva en forma de ocho. Para el antiparalelogramo formado por los lados y diagonales de un cuadrado, es la lemniscata de Bernoulli . [9]
El antiparalelogramo es una característica importante en el diseño del inversor de Hart , un enlace que (como el enlace Peaucellier-Lipkin ) puede convertir el movimiento rotatorio en movimiento en línea recta. [10] También se puede utilizar un varillaje en forma de antiparalelogramo para conectar los dos ejes de un vehículo de cuatro ruedas, disminuyendo el radio de giro del vehículo en relación con una suspensión que solo permite girar un eje. [2] Se utilizó un par de antiparalelogramas anidados en un enlace definido por Alfred Kempe como parte de su teorema de universalidad, que establece que cualquier curva algebraica puede trazarse mediante las articulaciones de un enlace adecuadamente definido. Kempe llamó al enlace antiparalelograma anidado un "multiplicador", ya que podría usarse para multiplicar un ángulo por un número entero. [1]
Sin apuntalar, un enlace antiparalelogramo se puede convertir en un paralelogramo normal. Se puede reforzar para evitar que esto suceda usando una construcción de Abbott y Barton 2004. Esta construcción se puede usar para solucionar un problema en el Teorema de universalidad de Kempe . [11]
Mecánica celeste
En el problema de los n cuerpos , el estudio de los movimientos de masas puntuales bajo la ley de Newton de la gravitación universal , las configuraciones centrales , soluciones al problema de los n cuerpos en el que todos los cuerpos giran alrededor de algún punto central como si estuvieran rígidamente conectados entre sí. Por ejemplo, para tres cuerpos, hay cinco soluciones de este tipo, dadas por los cinco puntos lagrangianos . Para cuatro cuerpos, con dos pares de cuerpos que tienen masas iguales (pero con la relación entre las masas de los dos pares variando continuamente), la evidencia numérica indica que existe una familia continua de configuraciones centrales, relacionadas entre sí por el movimiento de un enlace antiparalelograma. [12]
Referencias
- ^ a b Demaine, Erik ; O'Rourke, Joseph (2007), Algoritmos de plegado geométrico , Cambridge University Press, págs. 32–33, ISBN 978-0-521-71522-5.
- ^ a b c d Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008), "3.3 El paralelogramo cruzado" , ¿Qué tan redondo es su círculo? Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas , Princeton University Press, págs. 54–56, ISBN 978-0-691-13118-4.
- ^ Cuadriláteros
- ^ Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary y Cyclopedia , The Century co., P. 1547.
- ^ Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas , 246 : 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 , JSTOR 91532 , MR 0062446.
- ^ Demaine, Erik D .; O'Rourke, Joseph (2007), "23.2 Poliedros flexibles", Algoritmos de plegado geométrico: enlaces, origami, poliedros , Cambridge University Press, Cambridge, págs. 345–348, doi : 10.1017 / CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-85757-4, Señor 2354878.
- ^ van Schooten, Frans (1646), De Organica Conicarum Sectionum en Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Apéndice, de Cubicarum Æquationum resolutione (en latín), págs. 49–50, 69–70.
- ^ Norton, Robert L. (2003), Diseño de maquinaria , McGraw-Hill Professional, p. 51, ISBN 978-0-07-121496-4.
- ^ Bryant y Sangwin (2008) , págs. 58–59.
- ^ Dijksman, EA (1976), Motion Geometry of Mechanisms , Cambridge University Press, pág. 203, ISBN 9780521208413.
- ^ Barton, Timothy Good (2008), Generalización del teorema de universalidad de Kempe. (PDF)
- ^ Grebenikov, Evgenii A .; Ikhsanov, Ersain V .; Prokopenya, Alexander N. (2006), "Cálculos numérico-simbólicos en el estudio de configuraciones centrales en el problema planar newtoniano de cuatro cuerpos", Álgebra computacional en computación científica , Lecture Notes in Comput. Sci., 4194 , Berlín: Springer, págs. 192-204, doi : 10.1007 / 11870814_16 , MR 2279793.