Paquete Jet
En topología diferencial , el haz de chorro es una construcción determinada que hace un nuevo haz de fibras lisas a partir de un haz de fibras lisas dado. Permite escribir ecuaciones diferenciales en secciones de un haz de fibras en forma invariante. Los jets también pueden verse como las versiones sin coordenadas de las expansiones de Taylor .
Históricamente, los haces de chorros se atribuyen a Charles Ehresmann , y fueron un avance en el método ( prolongación ) de Élie Cartan , de tratar geométricamente con derivadas superiores , al imponer condiciones de forma diferencial sobre variables formales recién introducidas. Los haces de chorro a veces se denominan aerosoles , aunque los aerosoles generalmente se refieren más específicamente al campo de vector asociado inducido en el paquete correspondiente (por ejemplo, el rociado geodésico en los colectores de Finsler ).
Desde principios de la década de 1980, los haces de chorros han aparecido como una forma concisa de describir los fenómenos asociados con las derivadas de los mapas, en particular los asociados con el cálculo de variaciones . [1] En consecuencia, el haz de chorros ahora se reconoce como el dominio correcto para una teoría de campos covariantes geométricos y se hace mucho trabajo en formulaciones relativistas generales de campos utilizando este enfoque.
Suponga que M es una variedad m- dimensional y que ( E , π, M ) es un haz de fibras . Para p ∈ M , sea Γ (p) el conjunto de todas las secciones locales cuyo dominio contiene p . Sea un índice múltiple (una m -tupla de enteros, no necesariamente en orden ascendente), luego defina:
La relación de que dos mapas tienen el mismo r -jet es una relación de equivalencia . Un r -jet es una clase de equivalencia bajo esta relación, y el r -jet con representativo σ se denota . El número entero r también se llama orden del chorro, p es su fuente y σ ( p ) es su objetivo .
A partir de esta definición, queda claro que π r = π o π r , 0 y que si 0 ≤ m ≤ k , entonces π r, m = π k, m o π r, k . Es convencional a considerar π r, r como el mapa de identidad en J r ( π ) y para identificar J 0 ( π ) con E .