Serie de taylor

En matemáticas , la serie de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un solo punto. Para las funciones más comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor llevan el nombre de Brook Taylor , quien las presentó en 1715.

Si 0 es el punto donde se consideran las derivadas, una serie de Taylor también se denomina serie de Maclaurin , en honor a Colin Maclaurin , quien hizo un uso extensivo de este caso especial de la serie de Taylor en el siglo XVIII.

La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina n- ésimo polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que generalmente se vuelven mejores a medida que n aumenta. El teorema de Taylor da estimaciones cuantitativas sobre el error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente , su suma es el límite de la secuencia infinitade los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de su serie de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo ) que contiene x . Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

La serie de Taylor de una función f  ( x ) real o de valor complejo que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a es la serie de potencias

donde f ( n ) ( a ) denota la n- ésima derivada de f evaluada en el punto a . (La derivada de orden cero de f se define como f en sí misma y ( x - a ) 0 y 0! Se definen ambos como 1 ).

Al integrar la serie de Maclaurin anterior, encontramos la serie de Maclaurin para ln (1 - x ) , donde ln denota el logaritmo natural :

A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se aproxima a la función correcta. Esta imagen muestra sen x y sus aproximaciones de Taylor mediante polinomios de grado 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 y 13 en x = 0 .
La función e (−1 / x 2 ) no es analítica en x = 0 : la serie de Taylor es idénticamente 0, aunque la función no lo es.
La función seno (azul) se aproxima mucho por su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un período completo centrado en el origen.
Los polinomios de Taylor para ln (1 + x ) solo proporcionan aproximaciones precisas en el rango −1 < x ≤ 1 . Para x > 1 , los polinomios de Taylor de mayor grado proporcionan peores aproximaciones.
Las aproximaciones de Taylor para ln (1 + x ) (negro). Para x > 1 , las aproximaciones divergen.
La función exponencial e x (en azul) y la suma de los primeros n + 1 términos de su serie de Taylor en 0 (en rojo).
Aproximación en serie de Taylor de segundo orden (en naranja) de una función f  ( x , y ) = e x ln (1 + y ) alrededor del origen.