En física de no equilibrio , el formalismo de Keldysh es un marco general para describir la evolución mecánica cuántica de un sistema en un estado de no equilibrio o sistemas sujetos a campos externos que varían en el tiempo ( campo eléctrico , campo magnético, etc.). Históricamente, fue prefigurado por el trabajo de Julian Schwinger y propuesto casi simultáneamente por Leonid Keldysh [1] y, por separado, Leo Kadanoff y Gordon Baym . [2] Fue desarrollado por colaboradores posteriores como OV Konstantinov y VI Perel .[3]
La extensión a los sistemas cuánticos abiertos impulsados-disipativos se da en [4]
El formalismo de Keldysh proporciona una forma sistemática de estudiar los sistemas que no están en equilibrio, generalmente basado en las funciones de dos puntos correspondientes a las excitaciones en el sistema. El principal objeto matemático en el formalismo de Keldysh es la función de Green de no equilibrio (NEGF), que es una función de dos puntos de los campos de partículas. De esta manera, se asemeja al formalismo de Matsubara , que se basa en las funciones de equilibrio de Green en el tiempo imaginario y trata solo los sistemas de equilibrio.
Evolución temporal de un sistema cuántico
Considere un sistema mecánico cuántico general. Este sistema tiene el hamiltoniano . Sea el estado inicial del sistema, que puede ser un estado puro o mixto. Si ahora agregamos una perturbación dependiente del tiempo a este hamiltoniano, digamos, el hamiltoniano completo es y por lo tanto, el sistema evolucionará con el tiempo bajo el hamiltoniano completo. En esta sección, veremos cómo funciona realmente la evolución del tiempo en la mecánica cuántica.
Considere un operador hermitiano. En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, este operador depende del tiempo y el estado no. El valor esperado del operador es dado por
Donde, debido a la evolución temporal de los operadores en la imagen de Heisenberg, . El operador unitario de evolución temporal es el exponencial ordenado en el tiempo de una integral. (Tenga en cuenta que si el hamiltoniano en un momento se conmuta con el hamiltoniano en diferentes momentos, entonces esto se puede simplificar a.)
Para la mecánica cuántica perturbativa y la teoría cuántica de campos , a menudo es más conveniente utilizar la imagen de interacción . El operador de imagen de interacción es
Dónde . Luego definiendo tenemos
Dado que los operadores unitarios de evolución temporal satisfacen , la expresión anterior se puede reescribir como
o con reemplazado por cualquier valor de tiempo mayor que .
Orden de ruta en el contorno de Keldysh
Podemos escribir la expresión anterior de manera más sucinta reemplazando, de manera puramente formal, cada operador con un operador ordenado por contorno , tal que parametriza la trayectoria del contorno en el eje del tiempo a partir de , procediendo a , y luego volviendo a . Este camino se conoce como el contorno de Keldysh. tiene la misma acción de operador que (dónde es el valor de tiempo correspondiente a ) pero también tiene la información adicional de (es decir, estrictamente hablando Si , incluso si para los tiempos correspondientes ).
Entonces podemos introducir la notación del orden de ruta en este contorno, definiendo, dónde es una permutación tal que , y los signos más y menos son para operadores bosónicos y fermiónicos respectivamente. Tenga en cuenta que esta es una generalización del orden de tiempo .
Con esta notación, la evolución temporal anterior se escribe como
Dónde corresponde al tiempo en la rama delantera del contorno de Keldysh, y la integral sobre recorre todo el contorno de Keldysh. Para el resto de este artículo, como es convencional, usualmente usaremos simplemente la notación por dónde es el tiempo correspondiente a , y si está en la rama directa o inversa se infiere del contexto.
Técnica de diagrama de Keldysh para las funciones de Green
La función de Green en no equilibrio se define como .
O en la imagen de interacción . Podemos expandir la exponencial como una serie de Taylor para obtener la serie de perturbaciones. Este es el mismo procedimiento que en la teoría de perturbación de diagrama de equilibrio, pero con la importante diferencia de que se incluyen las ramas de contorno hacia adelante y hacia atrás.
Si, como suele ser el caso, es un polinomio o una serie en función de los campos elementales , podemos organizar esta serie de perturbaciones en términos monomiales y aplicar todos los posibles emparejamientos de Wick a los campos de cada monomio, obteniendo una suma de los diagramas de Feynman . Sin embargo, los bordes del diagrama de Feynman corresponden a diferentes propagadores dependiendo de si los operadores emparejados provienen de las ramas hacia adelante o hacia atrás. A saber,
donde el orden anti-tiempo ordena a los operadores de forma opuesta a la ordenación del tiempo y iniciar sesión es para campos bosónicos o fermiónicos. Tenga en cuenta que es el propagador utilizado en la teoría del estado fundamental ordinario.
Por lo tanto, los diagramas de Feynman para funciones de correlación pueden dibujarse y sus valores calculados de la misma manera que en la teoría del estado fundamental, excepto con las siguientes modificaciones a las reglas de Feynman: Cada vértice interno del diagrama está etiquetado con: o , mientras que los vértices externos están etiquetados con . Luego, cada borde (sin normalizar) dirigido desde un vértice (con posición , hora y firmar ) a un vértice (con posición , hora y firmar ) corresponde al propagador . Luego, los valores del diagrama para cada elección de signos (hay tales elecciones, donde es el número de vértices internos) se suman para encontrar el valor total del diagrama.
Ver también
Referencias
- ^ Keldysh, Leonid (1965). "Técnica de diagrama de procesos de desequilibrio" (PDF) . Sov. Phys. JETP . 20 : 1018.
- ^ Kadanoff, Leo; Baym, Gordon (1962). Mecánica estadística cuántica . Nueva York. ISBN 020141046X.
- ^ Kamenev, Alex (2011). Teoría de campo de sistemas en no equilibrio . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521760829. OCLC 721888724 .
- ^ Sieberer, Lukas; Buchhold, M; Diehl, S (2 de agosto de 2016). "Teoría del campo de Keldysh para sistemas cuánticos abiertos impulsados" . Informes sobre avances en física . 79 (9): 096001. arXiv : 1512.00637 . Código Bibliográfico : 2016RPPh ... 79i6001S . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 79/9/096001 . PMID 27482736 . S2CID 4443570 .
Otro
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- Lake, Roger (13 de enero de 2018). "Aplicación del formalismo Keldysh al análisis y modelado de dispositivos cuánticos" (PDF) . nanoHUB . Consultado el 18 de junio de 2018 .
- Kamenev, Alex (11 de diciembre de 2004). "Teoría de muchos cuerpos de sistemas sin equilibrio": cond – mat / 0412296. arXiv : cond-mat / 0412296 . Bibcode : 2004cond.mat.12296K . Cite journal requiere
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