Poliedro de Kepler-Poinsot

Pueden obtenerse estelando el dodecaedro regular convexo y el icosaedro , y se diferencian de éstos por tener caras pentagrammicas regulares o figuras de vértice . Todos pueden verse como análogos tridimensionales del pentagrama de una forma u otra.

Estas figuras tienen pentagramas (pentágonos de estrella) como caras o figuras de vértice. El dodecaedro estrellado pequeño y grande tienen caras de pentagrama regulares no convexas. El gran dodecaedro y el gran icosaedro tienen caras poligonales convexas , pero figuras de vértice pentagrammicas .

En todos los casos, dos caras pueden intersecarse por una línea que no es arista de ninguna de las caras, de modo que parte de cada cara pase por el interior de la figura. Tales líneas de intersección no forman parte de la estructura poliédrica y, a veces, se denominan bordes falsos. Del mismo modo, cuando tres de estas líneas se cortan en un punto que no es una esquina de ninguna cara, estos puntos son vértices falsos. Las imágenes a continuación muestran esferas en los vértices verdaderos y barras azules a lo largo de los bordes verdaderos.

Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras de pentagrama con la parte central pentagonal oculta dentro del sólido. Las partes visibles de cada cara comprenden cinco triángulos isósceles que se tocan en cinco puntos alrededor del pentágono. Podríamos tratar estos triángulos como 60 caras separadas para obtener un nuevo poliedro irregular que parece idéntico en apariencia. Cada arista ahora se dividiría en tres aristas más cortas (de dos tipos diferentes), y los 20 vértices falsos se convertirían en verdaderos, de modo que tenemos un total de 32 vértices (nuevamente de dos tipos). Los pentágonos interiores ocultos ya no forman parte de la superficie poliédrica y pueden desaparecer. Ahora la fórmula de Eulertiene: 60 − 90 + 32 = 2. Sin embargo, este poliedro ya no es el descrito por el símbolo de Schläfli {5/2, 5}, por lo que no puede ser un sólido de Kepler-Poinsot aunque todavía parece uno de fuera.

Un poliedro de Kepler-Poinsot cubre su esfera circunscrita más de una vez, actuando los centros de las caras como puntos de enrollamiento en las figuras que tienen caras pentagrammáticas y los vértices en las demás. Debido a esto, no son necesariamente topológicamente equivalentes a la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la relación de Euler

no siempre se sostiene. Schläfli sostuvo que todos los poliedros deben tener χ = 2, y rechazó el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande como poliedros propios. Esta opinión nunca fue ampliamente sostenida.