triangulo de pascal

En matemáticas , el triángulo de Pascal es una matriz triangular de los coeficientes binomiales que surge en la teoría de la probabilidad, la combinatoria y el álgebra. En gran parte del mundo occidental , lleva el nombre del matemático francés Blaise Pascal , aunque otros matemáticos lo estudiaron siglos antes que él en India, ^[1] Persia, ^[2] China, Alemania e Italia. ^[3]

Las filas del triángulo de Pascal se enumeran convencionalmente comenzando con la fila en la parte superior (la fila 0). Las entradas en cada fila están numeradas desde la izquierda comenzando con y generalmente están escalonadas en relación con los números en las filas adyacentes. El triángulo se puede construir de la siguiente manera: en la fila 0 (la fila superior), hay una única entrada distinta de cero 1. Cada entrada de cada fila subsiguiente se construye sumando el número de arriba y a la izquierda con el número de arriba y para a la derecha, tratando las entradas en blanco como 0. Por ejemplo, el número inicial en la primera (o cualquier otra) fila es 1 (la suma de 0 y 1), mientras que los números 1 y 3 en la tercera fila se suman para producir el número 4 en la cuarta fila.${\ estilo de visualización n = 0}$${\ estilo de visualización k = 0}$

La entrada en la ésima fila y la ésima columna del triángulo de Pascal se denota . Por ejemplo, la única entrada distinta de cero en la fila superior es . Con esta notación, la construcción del párrafo anterior puede escribirse como sigue:${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle {n \elegir k}}$${\displaystyle {0 \elegir 0}=1}$

para cualquier entero no negativo y cualquier entero . ^[4] Esta recurrencia de los coeficientes binomiales se conoce como regla de Pascal .${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización 0 \ leq k \ leq n}$

El triángulo de Pascal tiene generalizaciones dimensionales superiores. La versión tridimensional se denomina pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal , mientras que las versiones generales se denominan simples de Pascal .

El patrón de números que forma el triángulo de Pascal se conocía mucho antes de la época de Pascal. Pascal innovó muchos usos previamente no probados de los números del triángulo, usos que describió exhaustivamente en el tratado matemático más antiguo conocido dedicado especialmente al triángulo, su Traité du Triangle Arithmétique (1654; publicado en 1665).

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}}$

Un diagrama que muestra las primeras ocho filas del triángulo de Pascal.

En el triángulo de Pascal, cada número es la suma de los dos números directamente encima de él.

मेरु प्रस्तार (Meru Prastaara) como se usa en los manuscritos indios, derivado de las fórmulas de Pingala . Manuscrito de la Biblioteca Raghunath J&K; 755 dC

El triángulo de Yang Hui , tal como lo representan los chinos usando números de barra , aparece en un trabajo matemático de Zhu Shijie , fechado en 1303. El título dice "La tabla del método antiguo de los siete cuadrados que se multiplican" (chino: 古法七乘方圖; el cuarto carácter 椉 en el título de la imagen es arcaico).

La versión de Pascal del triángulo.

Visualización de la expansión binomial hasta la 4ª potencia

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\binom {0}{0}}\\{\binom {1}{0}}\quad {\binom {1}{1}}\\{\binom {2}{0}}\quad {\binom {2}{1}}\quad {\binom {2}{2}}\\{\binom {3}{0}}\quad {\binom {3}{1}}\quad {\binom {3}{2}}\quad {\binom {3}{3}}\\{\binom {4}{0}}\quad {\binom {4}{1}}\quad {\binom {4}{2}}\quad {\binom {4}{3}}\quad {\binom {4}{4}}\\{\binom {5}{0}}\quad {\binom {5}{1}}\quad {\binom {5}{2}}\quad {\binom {5}{3}}\quad {\binom {5}{4}}\quad {\binom {5}{5}}\end{array}}}$

Triángulo de Pascal de seis filas como coeficientes binomiales

Cada cuadro representa una fila en el triángulo de Pascal. Cada columna de píxeles es un número en binario con el bit menos significativo en la parte inferior. Los píxeles claros representan unos y los píxeles oscuros son ceros.

Derivación de números símplex a partir de un triángulo de Pascal justificado a la izquierda

Sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal

Una aproximación de nivel 4 a un triángulo de Sierpinski obtenida al sombrear las primeras 32 filas de un triángulo de Pascal en blanco si el coeficiente binomial es par y en negro si es impar.

			10
		10	20

El triángulo de Pascal superpuesto en una cuadrícula da el número de caminos distintos a cada cuadrado, asumiendo que solo se consideran los movimientos hacia la derecha y hacia abajo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{counting}&=binomial\end{aligned}}}$

Matriz binomial como matriz exponencial. Todos los puntos representan el 0.

Coeficientes binomiales C  ( n , k ) extendidos para n negativo y fraccionario , ilustrados con un binomio simple . Se puede observar que se gira el triángulo de Pascal y se niegan los términos alternos. El caso n  = −1 da la serie de Grandi .