Klaus Friedrich Roth FRS (29 de octubre de 1925 - 10 de noviembre de 2015) fue un matemático británico nacido en Alemania que ganó la Medalla Fields por demostrar el teorema de Roth sobre la aproximación diofántica de números algebraicos . También fue ganador de la Medalla De Morgan y la Medalla Sylvester , y miembro de la Royal Society .
Klaus Roth | |
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Nació | Klaus Friedrich Roth 29 de octubre de 1925 |
Fallecido | 10 de noviembre de 2015 Inverness , Escocia | (90 años)
Educación | |
Conocido por | |
Premios |
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Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | |
Tesis | Prueba de que casi todos los enteros positivos son sumas de un cuadrado, un cubo positivo y una cuarta potencia (1950) |
Asesor de doctorado | Theodor Estermann |
Otros asesores académicos |
Roth se mudó a Inglaterra cuando era niño en 1933 para escapar de los nazis, y se educó en la Universidad de Cambridge y el University College London , terminando su doctorado en 1950. Enseñó en el University College London hasta 1966, cuando tomó una cátedra en el Imperial College. Londres . Se retiró en 1988.
Más allá de su trabajo sobre la aproximación diofántica, Roth hizo importantes contribuciones a la teoría de los conjuntos libres de progresión en la combinatoria aritmética y a la teoría de las irregularidades de la distribución . También era conocido por su investigación sobre sumas de potencias , sobre el tamiz grande , sobre el problema del triángulo de Heilbronn y sobre el empaquetamiento cuadrado en un cuadrado . Fue coautor del libro Secuencias sobre secuencias enteras .
Biografía
Vida temprana
Roth nació en una familia judía en Breslau , Prusia , el 29 de octubre de 1925. Sus padres se establecieron con él en Londres para escapar de la persecución nazi en 1933, y fue criado y educado en el Reino Unido. [1] [2] Su padre, un abogado, había estado expuesto a gas venenoso durante la Primera Guerra Mundial y murió cuando Roth aún era joven. Roth se convirtió en alumno en St Paul's School, Londres de 1939 a 1943, y con el resto de la escuela fue evacuado de Londres a Easthampstead Park durante The Blitz . En la escuela, era conocido por su habilidad tanto en ajedrez como en matemáticas. Trató de unirse al Cuerpo de Entrenamiento Aéreo , pero fue bloqueado durante algunos años por ser alemán y luego por carecer de la coordinación necesaria para un piloto. [2]
Educacion matematica
Roth leyó matemáticas en Peterhouse, Cambridge , y jugó en el primer tablero del equipo de ajedrez de Cambridge, [2] terminando en 1945. [3] A pesar de su habilidad en matemáticas, solo logró honores de tercera clase en los Tripos de Matemáticas , debido a su pobre desempeño. capacidad para tomar exámenes. Su tutor de Cambridge, John Charles Burkill , no apoyó que Roth continuara en matemáticas y recomendó, en cambio, que aceptara "algún trabajo comercial con un sesgo estadístico". [2] En cambio, se convirtió brevemente en profesor de escuela en Gordonstoun , entre terminar en Cambridge y comenzar sus estudios de posgrado. [1] [2]
Por recomendación de Harold Davenport , fue aceptado en 1946 en un programa de maestría en matemáticas en el University College London , donde trabajó bajo la supervisión de Theodor Estermann . [2] Allí completó una maestría en 1948 y un doctorado en 1950. [3] Su disertación fue Prueba de que casi todos los enteros positivos son sumas de un cuadrado, un cubo positivo y un cuarto poder . [4]
Carrera profesional
Al recibir su maestría en 1948, Roth se convirtió en profesor asistente en el University College London, y en 1950 fue ascendido a profesor. [5] Sus contribuciones más significativas, sobre aproximación diofántica, secuencias sin progresión y discrepancia, fueron todas publicadas a mediados de la década de 1950, y en 1958 recibió la Medalla Fields, el mayor honor de los matemáticos. [2] [6] Sin embargo, no fue hasta 1961 que fue ascendido a profesor titular. [1] Durante este período, continuó trabajando en estrecha colaboración con Harold Davenport. [2]
Se tomó unos años sabáticos en el Instituto de Tecnología de Massachusetts a mediados de la década de 1950 y mediados de la de 1960, y consideró seriamente migrar a los Estados Unidos. Walter Hayman y Patrick Linstead contrarrestaron esta posibilidad, que vieron como una amenaza para las matemáticas británicas, con una oferta de una cátedra en matemáticas puras en el Imperial College de Londres , y Roth aceptó la cátedra en 1966. [2] Conservó este puesto hasta que fue oficial. jubilación en 1988. [1] Permaneció en el Imperial College como profesor visitante hasta 1996. [3]
Las conferencias de Roth solían ser muy claras, pero ocasionalmente podían ser erráticas. [2] El Proyecto de Genealogía de Matemáticas lo enumera con solo dos estudiantes de doctorado, [4] pero uno de ellos, William Chen, quien continuó el trabajo de Roth en la teoría de la discrepancia, se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Australiana y jefe del departamento de matemáticas en Universidad Macquarie . [7]
Vida personal
En 1955, Roth se casó con Mélèk Khaïry, una hija del senador egipcio Khaïry Pacha, quien había atraído su atención como estudiante en su primera conferencia. [1] [2] Khaïry llegó a trabajar para el departamento de psicología del University College London, donde publicó una investigación sobre los efectos de las toxinas en ratas. [8] Tras la jubilación de Roth, se trasladaron a Inverness ; Roth dedicó una habitación de su casa al baile latino, un interés compartido por ellos. [2] [9] Khaïry murió en 2002, y Roth murió en Inverness el 10 de noviembre de 2015 a la edad de 90 años. [1] [2] [3] No tuvieron hijos, y Roth dedicó la mayor parte de su patrimonio, durante un millón de libras, a dos organizaciones benéficas de salud "para ayudar a las personas mayores y enfermas que viven en la ciudad de Inverness". Envió la Medalla Fields con un legado más pequeño a Peterhouse. [10]
Contribuciones
Roth era conocido como un solucionador de problemas en matemáticas, más que como un constructor de teorías. Harold Davenport escribe que la "moraleja en el trabajo del Dr. Roth" es que "los grandes problemas no resueltos de las matemáticas aún pueden ceder al ataque directo, por más difíciles y prohibitivos que parezcan ser, y por mucho esfuerzo que ya se haya gastado en ellos". [6] Sus intereses de investigación abarcaron varios temas en teoría de números , teoría de discrepancias y teoría de secuencias de números enteros .
Aproximación diofántica
El tema de la aproximación diofántica busca aproximaciones precisas de números irracionales por números racionales . La cuestión de la precisión con la que se pueden aproximar los números algebraicos se conoció como el problema de Thue-Siegel, después de que Axel Thue y Carl Ludwig Siegel progresaran previamente en esta cuestión . La precisión de la aproximación se puede medir mediante el exponente de aproximación de un número., definido como el número más grande tal que tiene infinitas aproximaciones racionales con . Si el exponente de aproximación es grande, entoncestiene aproximaciones más precisas que un número cuyo exponente es menor. El exponente de aproximación más pequeño posible es dos: incluso los números más difíciles de aproximar se pueden aproximar con el exponente dos usando fracciones continuas . [3] [6] Antes del trabajo de Roth, se creía que los números algebraicos podían tener un exponente de aproximación mayor, relacionado con el grado del polinomio que define el número. [2]
En 1955 , Roth publicó lo que ahora se conoce como el teorema de Roth , resolviendo completamente esta cuestión. Su teorema falsificó la supuesta conexión entre exponente de aproximación y grado, y demostró que, en términos del exponente de aproximación, los números algebraicos son los que se aproximan con menor precisión de todos los números irracionales. Más precisamente, demostró que para los números algebraicos irracionales, el exponente de aproximación es siempre exactamente dos. [3] En un estudio del trabajo de Roth presentado por Harold Davenport al Congreso Internacional de Matemáticos en 1958, cuando Roth recibió la Medalla Fields, Davenport llamó a este resultado el "mayor logro" de Roth. [6]
Combinatoria aritmética
Otro resultado llamado " teorema de Roth ", de 1953 , está en la combinatoria aritmética y se refiere a secuencias de números enteros sin tres en progresión aritmética . Estas secuencias habían sido estudiadas en 1936 por Paul Erdős y Pál Turán , quienes conjeturaban que debían ser escasas. [11] [a] Sin embargo, en 1942, Raphaël Salem y Donald C. Spencer construyeron subconjuntos libres de progresión de los números de a de tamaño proporcional a , para cada . [12]
Roth reivindicó a Erdős y Turán al demostrar que no es posible que el tamaño de tal conjunto sea proporcional a : cada conjunto denso de números enteros contiene una progresión aritmética de tres términos. Su demostración utiliza técnicas de la teoría analítica de números, incluido el método del círculo de Hardy-Littlewood para estimar el número de progresiones en una secuencia dada y mostrar que, cuando la secuencia es lo suficientemente densa, este número es distinto de cero. [2] [13]
Más tarde, otros autores reforzaron el límite de Roth sobre el tamaño de los conjuntos sin progresión. [14] Un fortalecimiento en una dirección diferente, el teorema de Szemerédi , muestra que los conjuntos densos de enteros contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. [15]
Discrepancia
Aunque el trabajo de Roth sobre la aproximación diofántica le valió el mayor reconocimiento, es su investigación sobre las irregularidades de distribución de la que (según un obituario de William Chen y Bob Vaughan ) estaba más orgulloso. [2] Su artículo de 1954 sobre este tema sentó las bases de la teoría de la discrepancia moderna . Se trata de la colocación depuntos en un cuadrado unitario de modo que, por cada rectángulo delimitado entre el origen y un punto del cuadrado, el área del rectángulo esté bien aproximada por el número de puntos en él. [2]
Roth midió esta aproximación por la diferencia al cuadrado entre el número de puntos y veces el área, y demostró que para un rectángulo elegido al azar el valor esperado de la diferencia al cuadrado es logarítmico en. Este resultado es el mejor posible y mejoró significativamente un límite anterior sobre el mismo problema de Tatyana Pavlovna Ehrenfest . [16] A pesar del trabajo previo de Ehrenfest y Johannes van der Corput sobre el mismo problema, Roth era conocido por jactarse de que este resultado "inició un tema". [2]
Otros temas
Algunas de las primeras obras de Roth incluyeron un artículo de 1949 sobre sumas de potencias , que muestra que casi todos los enteros positivos podrían representarse como una suma de un cuadrado, un cubo y una cuarta potencia, y un artículo de 1951 sobre los espacios entre números libres de cuadrados , describe como "bastante sensacional" y "de considerable importancia" respectivamente por Chen y Vaughan. [2] Su conferencia inaugural en el Imperial College se refirió al gran tamiz : delimitar el tamaño de los conjuntos de números enteros a partir de los cuales se han prohibido muchas clases de congruencia de números modulo primos . [17] Roth había publicado previamente un artículo sobre este problema en 1965 .
Otro de los intereses de Roth fue el problema del triángulo de Heilbronn , de colocar puntos en un cuadrado para evitar triángulos de área pequeña. Su artículo de 1951 sobre el problema fue el primero en demostrar un límite superior no trivial en el área que se puede lograr. Finalmente, publicó cuatro artículos sobre este problema, el último en 1976 . [18] Roth también hizo un progreso significativo en el empaque cuadrado en un cuadrado . Si los cuadrados unitarios se empaquetan en un cuadrado de la manera obvia, paralela al eje, luego para valores de que están justo por debajo de un número entero, casi El área se puede dejar descubierta. Después de que Paul Erdős y Ronald Graham demostraran que un empaque inclinado más inteligente podría dejar un área significativamente más pequeña, solo, [19] Roth y Bob Vaughan respondieron con un artículo de 1978 que demostraba el primer límite inferior no trivial del problema. Como mostraron, para algunos valores de, el área descubierta debe ser al menos proporcional a . [2] [20]
En 1966 , Heini Halberstam y Roth publicaron su libro Sequences , sobre secuencias enteras . Inicialmente planeado para ser el primero de un conjunto de dos volúmenes, sus temas incluían las densidades de sumas de secuencias, límites en el número de representaciones de enteros como sumas de miembros de secuencias, densidad de secuencias cuyas sumas representan todos los enteros, teoría de tamices y el método probabilístico , y secuencias en las que ningún elemento es múltiplo de otro . [21] En 1983 se publicó una segunda edición. [22]
Reconocimiento
Roth ganó la Medalla Fields en 1958 por su trabajo sobre la aproximación diofántica. Fue el primer medallista de British Fields. [1] Fue elegido miembro de la Royal Society en 1960 y más tarde se convirtió en miembro honorario de la Royal Society de Edimburgo , miembro del University College London, miembro del Imperial College London y miembro honorario de Peterhouse. [1] Fue una fuente de diversión para él que su Medalla Fields, la elección a la Royal Society y la cátedra de profesor le llegaran en el orden inverso de su prestigio. [2]
La London Mathematical Society le otorgó a Roth la Medalla De Morgan en 1983. [3] En 1991, la Royal Society le otorgó su Medalla Sylvester "por sus muchas contribuciones a la teoría de números y, en particular, por su solución del famoso problema relativo a la aproximación de números algebraicos por racionales. . " [23]
En 2009 se publicó un festival de 32 ensayos sobre temas relacionados con la investigación de Roth, en honor al 80 cumpleaños de Roth, [24] y en 2017 los editores de la revista Mathematika dedicaron un número especial a Roth. [25] Después de la muerte de Roth, el Departamento de Matemáticas del Imperial College instituyó la Beca Roth en su honor. [26]
Publicaciones Seleccionadas
Artículos de revistas
- Roth, KF (1949). Prueba de que casi todos los enteros positivos son sumas de un cuadrado, un cubo positivo y una cuarta potencia ”. Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 24 : 4-13. doi : 10.1112 / jlms / s1-24.1.4 . Señor 0028336 . Zbl 0032.01401 .
- Roth, KF (1951a). "Sobre un problema de Heilbronn". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 26 (3): 198-204. doi : 10.1112 / jlms / s1-26.3.198 . Señor 0041889 . Zbl 0043.16303 .
- Roth, KF (1951b). "Sobre los huecos entre números sin cuadrados". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 26 (4): 263–268. doi : 10.1112 / jlms / s1-26.4.263 . Señor 0043119 . Zbl 0043.04802 .
- Roth, KF (1953). "En ciertos conjuntos de números enteros". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 28 : 104-109. doi : 10.1112 / jlms / s1-28.1.104 . Señor 0051853 . Zbl 0050.04002 .
- Roth, KF (1954). "Sobre irregularidades de distribución". Mathematika . 1 (2): 73–79. doi : 10.1112 / S0025579300000541 . Señor 0066435 . Zbl 0057.28604 .
- Roth, KF (1955). "Aproximaciones racionales a números algebraicos". Mathematika . 2 : 1–20, 168. doi : 10.1112 / S0025579300000644 . Señor 0072182 . Zbl 0064.28501 .
- Roth, KF (1965). "Sobre los grandes tamices de Linnik y Rényi". Mathematika . 12 : 1–9. doi : 10.1112 / S0025579300005088 . Señor 0197424 . Zbl 0137.25904 .
- Roth, KF (1976). "Desarrollos en el problema del triángulo de Heilbronn" . Avances en Matemáticas . 22 (3): 364–385. doi : 10.1016 / 0001-8708 (76) 90100-6 . Señor 0429761 . Zbl 0338.52005 .
- Roth, KF; Vaughan, RC (1978). "Ineficiencia en el embalaje de cuadrados con cuadrados unitarios" . Revista de teoría combinatoria . Serie A. 24 (2): 170–186. doi : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90005-5 . Señor 0487806 . Zbl 0373.05026 .
Libro
- Halberstam, Heini ; Roth, Klaus Friedrich (1966). Secuencias . Londres: Clarendon Press.[21] Springer-Verlag publicó una segunda edición en 1983. [22]
Notas
- ↑ Davenport (1960) da la fecha de la conjetura de Erdős-Turán como 1935, pero afirma que "se cree que es más antigua". Afirma la conjetura en la forma de que la densidad natural de una secuencia libre de progresión debería ser cero, lo que demostró Roth. Sin embargo, la forma de la conjetura realmente publicada por Erdős & Turán (1936) es mucho más fuerte, al afirmar que el número de elementos de a en tal secuencia debe ser para algun exponente . De esta forma, la conjetura fue falsificada por Salem y Spencer (1942) .
Referencias
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