El tamiz grande es un método (o familia de métodos e ideas relacionadas) en la teoría analítica de números . Es un tipo de tamiz en el que se eliminan hasta la mitad de todas las clases de residuos, a diferencia de los tamices pequeños como el tamiz Selberg en el que solo se eliminan algunas clases de residuos. El método se ha reforzado aún más con el tamiz más grande que elimina arbitrariamente muchas clases de residuos. [1]
Nombre
Su nombre proviene de su aplicación original: dado un conjunto tal que los elementos de S tienen prohibido estar en un conjunto A p ⊂ Z / p Z módulo cada primo p , ¿qué tamaño puede tener S ? Aquí se piensa que A p es grande, es decir, al menos tan grande como una constante multiplicada por p ; si este no es el caso, hablamos de un pequeño colador .
Historia
La historia temprana del tamiz grande se remonta al trabajo de Yu. B. Linnik , en 1941, trabajando en el problema del no residuo menos cuadrático . Posteriormente Alfréd Rényi trabajó en él, utilizando métodos de probabilidad. Solo dos décadas después, después de varias contribuciones de otros, el gran tamiz se formuló de una manera más definitiva. Esto sucedió a principios de la década de 1960, en un trabajo independiente de Klaus Roth y Enrico Bombieri . También fue en esa época cuando se comprendió mejor la conexión con el principio de dualidad. A mediados de la década de 1960, se demostró que el teorema de Bombieri-Vinogradov era una de las principales aplicaciones de los tamices grandes utilizando estimaciones de valores medios de caracteres de Dirichlet . A fines de la década de 1960 y principios de la de 1970, Patrick X. Gallagher simplificó muchos de los ingredientes clave y las estimaciones . [2]
Desarrollo
Los métodos de tamices grandes se han desarrollado lo suficiente como para que también sean aplicables a situaciones de tamices pequeños. Algo se ve comúnmente como relacionado con el tamiz grande no necesariamente en términos de si está relacionado con el tipo de situación esbozada anteriormente, sino, más bien, si involucra uno de los dos métodos de prueba usados tradicionalmente para producir un resultado de tamiz grande. :
Desigualdad aproximada de Plancherel
Si un conjunto S está mal distribuido módulo p (en virtud, por ejemplo, de estar excluido de las clases de congruencia A p ), entonces los coeficientes de Fourierde la función característica f p del conjunto S mod p son en promedio grandes. Estos coeficientes se pueden elevar a valores de la transformada de Fourier de la función característica f del conjunto S (es decir,
- ).
Al limitar las derivadas, podemos ver que debe ser grande, en promedio, para todos los x números casi racionales de la forma a / p . Grande aquí significa "tiempos constantes relativamente grandes | S |". Desde
obtenemos una contradicción con la identidad de Plancherel
a menos que | S | es pequeño. (En la práctica, para optimizar los límites, las personas hoy en día modifican la identidad de Plancherel en una igualdad en lugar de derivadas vinculadas como se indicó anteriormente).
Principio de dualidad
Se puede probar fácilmente un resultado de tamiz grande fuerte si se observa el siguiente hecho básico del análisis funcional: la norma de un operador lineal (es decir,
donde A es un operador de un espacio lineal V a un espacio lineal W ) es igual a la norma de su adjunto, es decir,
- ).
Este principio en sí mismo ha llegado a adquirir el nombre de "tamiz grande" en parte de la literatura matemática.
También es posible derivar el tamiz grande a partir de majorants al estilo de Selberg (ver Selberg, Collected Works , vol II, Lectures on tamices).
Ver también
Referencias
- ^ Gallagher, Patrick (1971). "Un colador más grande". Acta Arithmetica . 18 : 77–81.
- ^ Tenenbaum, Gérald (2015). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 163 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 102-104. ISBN 9780821898543.
- "Gran tamiz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram . Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 66 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 135-155. ISBN 0-521-61275-6. Zbl 1121.11063 .
- Davenport, Harold (2000). Teoría de números multiplicativos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 74 . Revisado y con un prefacio de Hugh L. Montgomery (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-95097-4. Zbl 1002.11001 .
- Friedlander, John ; Iwaniec, Henryk (2010). Opera de Cribro . Publicaciones del Coloquio AMS. ISBN 978-0-8218-4970-5. Zbl 1226.11099 .
- Hooley, Christopher (1976). Aplicaciones de los métodos de tamizado a la teoría de números . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 17-20. ISBN 0-521-20915-3.
- Kowalski, Emmanuel (2008). El gran tamiz y sus aplicaciones . Cambridge Tracts in Mathematics. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-88851-6.
- Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 46 . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.