Klein de cuatro grupos
En matemáticas , el grupo de cuatro de Klein es un grupo con cuatro elementos, en el que cada elemento es autoinverso (componerlo consigo mismo produce la identidad) y en el que la composición de dos de los tres elementos que no son de identidad produce el tercero. Se puede describir como el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado (los tres elementos que no son de identidad son la reflexión horizontal y vertical y la rotación de 180 grados), como el grupo de operaciones bit a bit exclusivas u en valores binarios de dos bits, o más abstractamente como Z 2 × Z 2 , el producto directode dos copias del grupo cíclico de orden 2. Fue nombrado Vierergruppe (que significa grupo de cuatro) por Felix Klein en 1884. [1] También se le llama el grupo de Klein , y a menudo se simboliza con la letra V o como K 4 .
El grupo de cuatro de Klein, con cuatro elementos, es el grupo más pequeño que no es un grupo cíclico . Solo hay otro grupo de orden cuatro, hasta el isomorfismo , el grupo cíclico de orden 4. Ambos son grupos abelianos . El grupo no abeliano más pequeño es el grupo simétrico de grado 3 , que tiene orden 6.
Todos los elementos que no son de identidad del grupo de Klein tienen orden 2, por lo que dos elementos que no son de identidad pueden servir como generadores en la presentación anterior. El grupo de cuatro de Klein es el grupo no cíclico más pequeño . Sin embargo, es un grupo abeliano e isomorfo al grupo diédrico de orden (cardinalidad) 4, es decir, D 4 (o D 2 , usando la convención geométrica); aparte del grupo de orden 2, es el único grupo diédrico que es abeliano.
El grupo de cuatro de Klein también es isomorfo a la suma directa Z 2 ⊕ Z 2 , por lo que puede representarse como los pares {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} bajo el módulo 2 de adición por componentes (o de manera equivalente las cadenas de bits {00, 01, 10, 11} bajo XOR por bits ); siendo (0,0) el elemento de identidad del grupo. El grupo de cuatro de Klein es, por lo tanto, un ejemplo de un grupo abeliano elemental de 2 , que también se denomina grupo booleano . El grupo de cuatro de Klein es, por lo tanto, también el grupo generado por la diferencia simétrica como la operación binaria en los subconjuntos de unpowerset de un conjunto con dos elementos, es decir, sobre un campo de conjuntos con cuatro elementos, por ejemplo ; el conjunto vacío es el elemento de identidad del grupo en este caso.
Otra construcción numérica del grupo de cuatro de Klein es el conjunto { 1, 3, 5, 7 }, siendo la operación la multiplicación módulo 8 . Aquí a es 3, b es 5 y c = ab es 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .
El grupo de cuatro de Klein tiene una representación como matrices reales de 2 × 2, siendo la operación la multiplicación de matrices:
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