En matemáticas, el teorema de la convexidad de Kostant , introducido por Bertram Kostant ( 1973 ), establece que la proyección de cada órbita coadjunta de un grupo de Lie compacto conectado en el dual de una subálgebra de Cartan es un conjunto convexo . Es un caso especial de un resultado más general para espacios simétricos . El teorema de Kostant es una generalización de un resultado de Schur (1923) , Horn (1954) y Thompson (1972) para matrices hermitianas. Demostraron que la proyección sobre las matrices diagonales del espacio de todo n por nmatrices autoadjuntas complejas con valores propios dados Λ = (λ 1 , ..., λ n ) es el politopo convexo con vértices todas permutaciones de las coordenadas de Λ.
Kostant usó esto para generalizar la desigualdad de Golden-Thompson a todos los grupos compactos.
Grupos de Compact Lie
Deje K un grupo de Lie compacto conectado con máxima toroide T y Weyl grupo W = N K ( T ) / T . Deja que sus álgebras de mentira sean y . Sea P la proyección ortogonal de sobre para algún producto interno invariable en anuncios en . Entonces para X en, P (Ad ( K ) ⋅ X ) es el politopo convexo con vértices w ( X ) donde w pasa por encima del grupo Weyl.
Espacios simétricos
Sea G un grupo de Lie compacto y σ una involución con K un subgrupo compacto fijado por σ y que contiene el componente de identidad del subgrupo de punto fijo de σ. Por tanto, G / K es un espacio simétrico de tipo compacto. Dejar y sean sus álgebras de Lie y sea σ también la correspondiente involución de . Dejar ser el espacio propio −1 de σ y sea ser un subespacio abeliano máximo. Sea Q la proyección ortogonal de sobre para algún producto interno invariable de Ad ( K ) en. Entonces para X en, Q (Ad ( K ) ⋅ X ) es el politopo convexo con vértices w ( X ) donde w corre sobre el grupo Weyl restringido (el normalizador deen K módulo su centralizador).
El caso de un grupo de Lie compacto es el caso especial donde G = K × K , K está incrustado diagonalmente y σ es el automorfismo de G intercambiando los dos factores.
Prueba de un grupo de Lie compacto
La prueba de Kostant para espacios simétricos se da en Helgason (1984) . Existe una prueba elemental solo para grupos de Lie compactos que usan ideas similares, debido a Wildberger (1993) : se basa en una generalización del algoritmo de valor propio de Jacobi para compactar grupos de Lie.
Deje K un grupo de Lie compacto conectado con la máxima toroide T . Para cada α raíz positiva hay un homomorfismo de SU (2) en K . Un cálculo simple con matrices de 2 por 2 muestra que si Y está eny k varía en esta imagen de SU (2), entonces P (Ad ( k ) ⋅ Y ) traza una línea recta entre P ( Y ) y su reflejo en la raíz α. En particular, el componente en el espacio raíz α, su "coordenada α fuera de la diagonal", se puede enviar a 0. Al realizar esta última operación, la distancia de P ( Y ) a P (Ad ( k ) ⋅ Y ) está acotada por encima de por el tamaño de la α fuera de la diagonal de coordenadas de Y . Deje que m sea el número de raíces positivas, la mitad de la dimensión de K / T . A partir de una Y 1 arbitraria, tome la coordenada fuera de la diagonal más grande y envíela a cero para obtener Y 2 . Continúe de esta manera para obtener una secuencia ( Y n ). Luego
Por tanto, P ⊥ ( Y n ) tiende a 0 y
Por tanto, X n = P ( Y n ) es una secuencia de Cauchy, por lo que tiende a X en. Desde Y n = P ( Y n ) ⊕ P ⊥ ( Y n ), Y n tiende a X . Por otro lado, X n se encuentra en el segmento de línea que une X n +1 y su reflejo en la raíz α. Por tanto, X n se encuentra en el politopo del grupo Weyl definido por X n +1 . Estos politopos convexos están aumentando así como n aumenta y por lo tanto, P ( Y ) se encuentra en el politopo de X . Esto se puede repetir para cada Z en el K -orbit de X . El límite está necesariamente en la órbita del grupo Weyl de X y, por lo tanto, P (Ad ( K ) ⋅ X ) está contenido en el politopo convexo definido por W ( X ).
Para probar la inclusión opuesta, tome X como un punto en la cámara de Weyl positiva. Entonces, todos los demás puntos Y en el casco convexo de W ( X ) pueden obtenerse mediante una serie de trayectorias en esa intersección que se mueven a lo largo del negativo de una raíz simple. (Esto coincide con una imagen familiar de la teoría de la representación: si por dualidad X corresponde a un peso dominante λ, los otros pesos en el politopo del grupo Weyl definido por λ son los que aparecen en la representación irreductible de K con el mayor peso λ. Un argumento a favor de reducir operadores muestra que cada uno de estos pesos está vinculado por una cadena a λ obtenido al restar sucesivamente raíces simples de λ. [1] ) Cada parte de la ruta de X a Y se puede obtener mediante el proceso descrito anteriormente para las copias de SU (2 ) correspondiente a raíces simples, por lo que todo el politopo convexo se encuentra en P (Ad ( K ) ⋅ X ).
Otras pruebas
Heckman (1982) dio otra prueba del teorema de convexidad para grupos de Lie compactos, también presentada en Hilgert, Hofmann y Lawson (1989) . Para grupos compactos, Atiyah (1982) y Guillemin & Sternberg (1982) mostraron que si M es una variedad simpléctica con una acción hamiltoniana de un toro T con álgebra de Lie, luego la imagen del mapa de momentos
es un politopo convexo con vértices en la imagen del conjunto de puntos fijos de T (la imagen es un conjunto finito). Tomando por M una órbita coadjunta de K en, el mapa de momentos para T es la composición
Uso del producto interno invariante de anuncios para identificar y , el mapa se convierte en
la restricción de la proyección ortogonal. Tomando X en, los puntos fijos de T en la órbita Ad ( K ) ⋅ X son solo la órbita debajo del grupo Weyl, W ( X ). Entonces, las propiedades de convexidad del mapa de momentos implican que la imagen es el politopo convexo con estos vértices. Ziegler (1992) dio una versión directa simplificada de la prueba usando mapas de momento.
Duistermaat (1983) mostró que se podría utilizar una generalización de las propiedades de convexidad del mapa de momentos para tratar el caso más general de espacios simétricos. Sea τ una involución suave de M que toma la forma simpléctica ω a −ω y tal que t ∘ τ = τ ∘ t −1 . Entonces M y el conjunto de puntos fijos de τ (se supone que no está vacío) tienen la misma imagen bajo el mapa de momentos. Para aplicar esto, sea T = exp, Un toro en G . Si X está en como antes, el mapa de momentos produce el mapa de proyección
Sea τ el mapa τ ( Y ) = - σ ( Y ). El mapa de arriba tiene la misma imagen que la de la serie de punto fijo de τ, es decir, Ad ( K ) ⋅ X . Su imagen es el politopo convexo con vértices la imagen del conjunto de puntos fijos de T en Ad ( G ) ⋅ X , es decir, los puntos w ( X ) para w en W = N K ( T ) / C K ( T ).
Direcciones adicionales
En Kostant (1973) el teorema de convexidad se deduce de un teorema más general convexidad relativa a la proyección sobre el componente A en la descomposición Iwasawa G = KAN de un verdadero grupo de Lie semisimple G . El resultado discutido anteriormente para los grupos compactos de Lie K corresponde al caso especial cuando G es la complexificación de K : en este caso, el álgebra de Lie de A se puede identificar con. La versión más general del teorema de Kostant también ha sido generalizada a espacios simétricos semisimple por van den Ban (1986) . Kac y Peterson (1984) dieron una generalización para grupos de dimensión infinita.
Notas
Referencias
- Atiyah, MF (1982), "Convexidad y desplazamientos de los hamiltonianos", Bull. London Math. Soc. , 14 : 1–15, CiteSeerX 10.1.1.396.48 , doi : 10.1112 / blms / 14.1.1
- Duistermaat, JJ (1983), "Convexidad y rigidez para restricciones de funciones hamiltonianas a conjuntos de puntos fijos de una involución antisimpléctica", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 275 : 417–429, doi : 10.1090 / s0002-9947-1983-0678361-2
- Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), grupos de mentiras , Universitext, Springer, ISBN 978-3540152934
- Guillemin, V .; Sternberg, S. (1982), "Propiedades de convexidad del mapeo de momentos", Invent. Matemáticas. , 67 (3): 491–513, doi : 10.1007 / bf01398933
- Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Academic Press, págs. 473–476 , ISBN 978-0-12-338301-3
- Hilgert, Joachim; Hofmann, Karl Heinrich; Lawson, Jimmie D. (1989), grupos de Lie, conos convexos y semigrupos , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853569-0
- Heckman, GJ (1982), "Proyecciones de órbitas y comportamiento asintótico de multiplicidades para grupos de Lie compactos conectados", Invent. Matemáticas. , 67 (2): 333–356, doi : 10.1007 / bf01393821
- Horn, Alfred (1954), "Matrices doblemente estocásticas y la diagonal de una matriz de rotación", Amer. J. Math. , 76 (3): 620–630, doi : 10.2307 / 2372705 , JSTOR 2372705
- Humphreys, James E. (1997), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Textos de posgrado en matemáticas, 9 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3540900535
- Kac, VG; Peterson, DH (1984), "Estructura unitaria en representaciones de grupos de dimensión infinita y un teorema de convexidad", Invent. Matemáticas. , 76 : 1–14, doi : 10.1007 / bf01388487 , hdl : 2027.42 / 46611
- Kostant, Bertram (1973), "Sobre la convexidad, el grupo Weyl y la descomposición de Iwasawa", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 413–455, doi : 10.24033 / asens.1254 , ISSN 0012-9593 , MR 0364552
- Schur, I. (1923), "Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf der Determinanten Theorie", Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft , 22 : 9-20
- Thompson, Colin J. (1972), "Desigualdades y órdenes parciales en espacios matriciales" , Indiana Univ. Matemáticas. J. , 21 (5): 469–480, doi : 10.1512 / iumj.1972.21.21037
- van den Ban, Erik P. (1986), "Un teorema de convexidad para espacios simétricos semisimple", Pacific J. Math. , 124 : 21–55, doi : 10.2140 / pjm.1986.124.21
- Wildberger, NJ (1993), "Diagonalización en álgebras de Lie compactas y una nueva demostración de un teorema de Kostant", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 119 (2): 649–655, doi : 10.1090 / s0002-9939-1993-1151817-6
- Ziegler, François (1992), "Sobre el teorema de la convexidad de Kostant", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 115 (4): 1111–1113, doi : 10.1090 / s0002-9939-1992-1111441-7