Escalar de Kretschmann

En la teoría de las variedades de Lorentz , particularmente en el contexto de las aplicaciones a la relatividad general , el escalar de Kretschmann es un invariante escalar cuadrático . Fue presentado por Erich Kretschmann . ^[1]

Definición

El invariante de Kretschmann es ^{[1] [2]}

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

donde está el tensor de curvatura de Riemann (en esta ecuación se utilizó la convención de suma de Einstein , y se utilizará a lo largo del artículo). Debido a que es una suma de cuadrados de componentes tensoriales, este es un invariante cuadrático .${\displaystyle R_{abcd}}$

Para el uso de un sistema de álgebra por computadora, una escritura más detallada es significativa:

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

Ejemplos de

Para un agujero negro de masa de Schwarzschild , el escalar de Kretschmann es ^[1]${\displaystyle M}$

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

donde es la constante gravitacional.${\displaystyle G}$

Para un espacio-tiempo FRW general con métrica

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

el escalar de Kretschmann es

${\displaystyle K={\frac {12\left(a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right)}{a(t)^{4}}}.}$

Relación con otros invariantes

Otro posible invariante (que se ha empleado, por ejemplo, al escribir el término gravitacional del Lagrangiano para algunas teorías de la gravedad de orden superior ) es

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

donde está el tensor de Weyl , el tensor de curvatura conforme que también es la parte completamente sin trazas del tensor de Riemann. En dimensiones, esto está relacionado con el invariante de Kretschmann por ^[3]${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

donde es el tensor de curvatura de Ricci y es la curvatura escalar de Ricci (obtenida tomando trazos sucesivos del tensor de Riemann). El tensor de Ricci desaparece en los espaciotiempos del vacío (como la solución de Schwarzschild mencionada anteriormente) y, por lo tanto, el tensor de Riemann y el tensor de Weyl coinciden, al igual que sus invariantes.${\displaystyle R^{ab}}$${\displaystyle R}$

El escalar de Kretschmann y el escalar de Chern-Pontryagin

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

donde está el dual izquierdo del tensor de Riemann, son matemáticamente análogos (hasta cierto punto, físicamente análogos) a los invariantes familiares del tensor de campo electromagnético${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}}$

Ver también

• Invariantes de Carminati-McLenaghan , para un conjunto de invariantes.
• Clasificación de campos electromagnéticos , para más información sobre las invariantes del tensor de campo electromagnético.
• Invariante de curvatura , para invariantes de curvatura en geometría riemanniana y pseudo-riemanniana en general.
• Invariable de curvatura (relatividad general) .
• Descomposición de Ricci , para más información sobre el tensor de Riemann y Weyl.

Referencias

1. Richard C. Henry (2000). "Escalar de Kretschmann para un agujero negro de Kerr-Newman". El diario astrofísico . La Sociedad Astronómica Estadounidense. 535 (1): 350–353. arXiv : astro-ph / 9912320v1 . Código Bibliográfico : 2000ApJ ... 535..350H . doi : 10.1086 / 308819 . S2CID  119329546 .
2. Grøn y Hervik 2007 , p 219
3. Cherubini, cristiano; Bini, Donato; Capozziello, Salvatore; Ruffini, Remo (2002). "Invariantes escalares de segundo orden del tensor de Riemann: aplicaciones a los espaciotiempos del agujero negro". International Journal of Modern Physics D . 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc / 0302095v1 . Código bibliográfico : 2002IJMPD..11..827C . doi : 10.1142 / S0218271802002037 . ISSN 0218-2718 . S2CID 14587539 .  

Otras lecturas

• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Teoría de la relatividad general de Einstein , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• BF Schutz (2009), Un primer curso en relatividad general (segunda edición) , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0