En la relatividad general , las invariantes de curvatura son un conjunto de escalares formados a partir de los tensores de Riemann , Weyl y Ricci , que representan la curvatura , de ahí el nombre, y posiblemente operaciones sobre ellos como la contracción , la diferenciación covariante y la dualización .
Ciertos invariantes formados a partir de estos tensores de curvatura juegan un papel importante en la clasificación de los espaciotiempos . Las invariantes son en realidad menos poderosas para distinguir variedades de Lorentzian localmente no isométricas que para distinguir variedades de Riemann . Esto significa que sus aplicaciones son más limitadas que para las variedades dotadas de un tensor métrico definido positivo .
Invariantes principales
Los principales invariantes de los tensores de Riemann y Weyl son ciertos invariantes polinomiales cuadráticos (es decir, sumas de cuadrados de componentes).
Los principales invariantes del tensor de Riemann de una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones son
- el escalar de Kretschmann
- el escalar de Chern-Pontryagin
- el escalar de Euler
Estos son invariantes polinomiales cuadráticos (sumas de cuadrados de componentes). (Algunos autores definen el escalar de Chern-Pontryagin utilizando el dual derecho en lugar del dual izquierdo ).
El primero de ellos fue presentado por Erich Kretschmann . Los dos segundos nombres son algo anacrónicos, pero dado que las integrales de los dos últimos están relacionados con el número instanton y la característica de Euler respectivamente, tienen alguna justificación.
Los principales invariantes del tensor de Weyl son
(Porque , no es necesario definir un tercer invariante principal para el tensor de Weyl).
Relación con la descomposición de Ricci
Como cabría esperar de la descomposición de Ricci del tensor de Riemann en el tensor de Weyl más una suma de tensores de cuarto rango construidos a partir del tensor de Ricci de segundo rango y del escalar de Ricci , estos dos conjuntos de invariantes están relacionados (en d = 4) :
Relación con la descomposición de Bel
En cuatro dimensiones, la descomposición de Bel del tensor de Riemann, con respecto a un campo vectorial unitario similar al tiempo, no necesariamente geodésico o ortogonal hipersuperficial, consta de tres piezas
Debido a que todos estos son transversales (es decir, proyectados a los elementos del hiperplano espacial ortogonales a nuestro campo vectorial unitario similar al tiempo), se pueden representar como operadores lineales en vectores tridimensionales o como tres por tres matrices reales. Son respectivamente simétricas, sin trazas y simétricas (6, 8, 6 componentes linealmente independientes, para un total de 20). Si escribimos estos operadores como E , B , L respectivamente, las principales invariantes del tensor de Riemann se obtienen de la siguiente manera:
- es el rastro de E 2 + L 2 - 2 B B T ,
- es el rastro de B ( E - L ),
- es el rastro de E L - B 2 .
Expresión en el formalismo de Newman-Penrose
En términos de los escalares de Weyl en el formalismo de Newman-Penrose , los principales invariantes del tensor de Weyl pueden obtenerse tomando las partes real e imaginaria de la expresión.
(¡Pero tenga en cuenta el signo menos!)
El invariante cuadrático principal del tensor de Ricci ,, puede obtenerse como una expresión más complicada que involucra los escalares de Ricci (ver el artículo de Cherubini et al. citado a continuación).
Distinguir las variedades de Lorentz
Una cuestión importante relacionada con las invariantes de curvatura es cuándo se puede utilizar el conjunto de invariantes de curvatura polinomial para distinguir (localmente) variedades. Para poder hacer esto es necesario incluir invariantes de orden superior incluyendo derivadas del tensor de Riemann pero en el caso de Lorentz, se sabe que hay espaciotiempo que no se pueden distinguir; por ejemplo, los espaciotiempos VSI para los cuales todos estos invariantes de curvatura desaparecen y por lo tanto no pueden distinguirse del espacio plano. Este fracaso de poder distinguir las variedades de Lorentz está relacionado con el hecho de que el grupo de Lorentz no es compacto.
Todavía hay ejemplos de casos en los que podemos distinguir variedades de Lorentz usando sus invariantes. Ejemplos de esto son los espaciotiempos de tipo I de Petrov completamente generales sin vectores Killing, ver Coley et al. debajo. De hecho, se encontró aquí que los espaciotiempo que no se distinguen por su conjunto de invariantes de curvatura son todos espaciotiempo de Kundt .
Ver también
- Tensor de Bach , para un tensor a veces útil generado por a través de un principio variacional.
- Invariantes de Carminati-McLenaghan , para un conjunto de invariantes polinomiales del tensor de Riemann de una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones que se sabe que es completa en algunas circunstancias.
- Invariable de curvatura , para invariantes de curvatura en un contexto más general.
Referencias
- Cherubini, C .; Bini, D .; Capozziello, S .; Ruffini R. (2002). "Invariantes escalares de segundo orden del tensor de Riemann: aplicaciones a los espaciotiempos de los agujeros negros". En t. J. Mod. Phys. D . 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc / 0302095 . Código bibliográfico : 2002IJMPD..11..827C . doi : 10.1142 / S0218271802002037 .Consulte también la versión eprint .
- Coley, A .; Hervik, S .; Pelavas, N. (2009). "Espacios-tiempos caracterizados por sus invariantes de curvatura escalar". Clase. Quantum Grav . 26 : 025013. arXiv : 0901.0791 . Código Bibliográfico : 2009CQGra..26b5013C . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 26/2/025013 .