Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) es un elaborado comentario en sánscrito escrito por Sankara Variar y Narayana, dos astrónomos matemáticos pertenecientes a la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , sobre el conocido libro de texto de matemáticas Lilavati de Bhaskara II . [1] Kriyakramakari ('Técnicas operativas' [2] ), junto con Yuktibhasa de Jyeshthadeva , es una de las principales fuentes de información sobre el trabajo y las contribuciones de Sangamagrama Madhava , el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala .[3] También las citas dadas en este tratado arrojan mucha luz sobre las contribuciones de varios matemáticos y astrónomos que habían florecido en una época anterior. Hay varias citas atribuidas a Govindasvami, un astrónomo de Kerala del siglo IX. [4]
Autor | Sankara Variar y Narayana |
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País | India |
Idioma | sánscrito |
Sujeto | Astronomía / Matemáticas |
Género | Comentario sobre Lilavati |
Fecha de publicación | C. 1560 |
Sankara Variar (c. 1500 - 1560), el primer autor de Kriyakramakari, fue alumno de Nilakantha Somayaji y asistente del templo de profesión. Fue un miembro destacado de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala. Sus obras incluyen Yukti-dipika, un extenso comentario sobre Tantrasangraha de Nilakantha Somayaji. Narayana (c. 1540-1610), el segundo autor, era un brahmán namputiri perteneciente a la familia Mahishamangalam en Puruvanagrama (Peruvanam en el actual distrito de Thrissur en Kerala ).
Sankara Variar escribió su comentario de Lilavati hasta la estrofa 199. Variar completó esto alrededor de 1540 cuando dejó de escribir debido a otras preocupaciones. A veces, después de su muerte, Narayana completaba el comentario sobre las estrofas restantes en Lilavati.
Sobre el cálculo de π
Según la edición crítica de KV Sarma de Lilavati [5] basada en Kriyakramakari, la estrofa 199 de Lilavati dice lo siguiente [6] ( la convención Harvard-Kyoto se usa para la transcripción de los caracteres indios):
- vyAse bha-nanda-agni-hate vibhakte kha-bANa-sUryais paridhis sas sUkSmas /
- dvAviMzati-ghne vihRte atha zailais sthUlas atha-vA syAt vyavahAra-yogyas //
Esto podría traducirse de la siguiente manera;
- "Multiplique el diámetro por 3927 y divida el producto por 1250; esto da la circunferencia más precisa. O bien, multiplique el diámetro por 22 y divida el producto por 7; esto da la circunferencia aproximada que responde para operaciones comunes". [7]
Tomando este verso como punto de partida y comentando sobre él, Sanakara Variar en su Kriyakrakari explicó todos los detalles de las contribuciones de Sangamagrama Madhava hacia la obtención de valores precisos de π. Sankara Variar comentó así:
- "El maestro Madhava también mencionó un valor de la circunferencia más cercano [al valor verdadero] que eso:" Dioses [treinta y tres], ojos [dos], elefantes [ocho], serpientes [ocho], fuegos [tres], tres , cualidades [tres], Vedas [cuatro], naksatras [veintisiete], elefantes [ocho], brazos [dos] (2.827.433.388.233) - el sabio dijo que esta es la medida de la circunferencia cuando el diámetro de un círculo es nueve nikharva [ 10 ^ 11]. "Sankara Variar dice aquí que el valor de Madhava 2.827.433.388.233 / 900.000.000.000 es más exacto que" eso ", es decir, más exacto que el valor tradicional de π". [3]
Sankara Variar luego cita un conjunto de cuatro versos de Madhava que prescriben un método geométrico para calcular el valor de la circunferencia de un círculo . Esta técnica implica calcular los perímetros de polígonos circunscritos regulares sucesivos , comenzando por un cuadrado .
Una serie infinita para π
Sankara Variar luego describe un método más fácil debido a Madhava para calcular el valor de π.
- "Él (Madhava) menciona una forma más fácil de obtener la circunferencia. Es decir:
- Sume o reste alternativamente el diámetro multiplicado por cuatro y dividido en orden por los números impares como tres, cinco, etc., hacia o desde el diámetro multiplicado por cuatro y dividido por uno.
- Suponiendo que la división se completa dividiendo por un número impar, cualquiera que sea el número par arriba [junto a] ese [número impar], la mitad de eso es el multiplicador del último [término].
- El cuadrado de ese [número par] aumentado en 1 es el divisor del diámetro multiplicado por 4 como antes. El resultado de estos dos (el multiplicador y el divisor) se suma cuando [el término anterior es] negativo, cuando se resta positivo.
- El resultado es una circunferencia precisa. Si la división se repite muchas veces, será muy precisa ". [3]
Para traducir estos versículos a notaciones matemáticas modernas, sea C la circunferencia y D el diámetro de un círculo . Entonces, el método más fácil de Madhava para encontrar C se reduce a la siguiente expresión para C:
- C = 4D / 1 - 4D / 3 + 4D / 5 - 4D / 7 + ...
Esta es esencialmente la serie conocida como la serie de Gregory-Leibniz para π. Después de enunciar esta serie, Sankara Variar le da seguimiento con una descripción de un razonamiento geométrico elaborado para la derivación de la serie. [3]
Una serie infinita para arcangente
La teoría se desarrolla más en Kriyakramakari. Aborda el problema de derivar una serie similar para el cálculo de un arco de círculo arbitrario . Esto produce la expansión en serie infinita de la función arcangente . Este resultado también se le atribuye a Madhava.
- "Ahora, con el mismo argumento, se puede [hacer] la determinación del arco de un seno deseado. Eso es como [sigue]:
- El primer resultado es el producto del seno deseado y el radio dividido por el coseno. Cuando se ha hecho del cuadrado del seno el multiplicador y del cuadrado del coseno el divisor,
- ahora se determinará un grupo de resultados a partir de los resultados [anteriores] comenzando por el primero. Cuando estos se dividen en orden por los números impares 1, 3, etc.,
- y cuando uno ha restado la suma de los [resultados numerados] pares de la suma de los impares, [ese] debería ser el arco. Aquí, se requiere que el más pequeño del seno y el coseno se considere como el [seno] deseado.
- De lo contrario, los resultados no terminarían, incluso si se [calculan] repetidamente ". [3]
Las fórmulas anteriores establecen que si para un arco arbitrario θ de un círculo de radio R, el seno y el coseno son conocidos y si asumimos que sin θ
- θ = (R sin θ) / (1 cos θ) - (R sin 3 θ) / (3 cos 3 θ) + (R sin 5 θ) / (5 cos 5 θ) - (R sin 7 θ) / ( 7 cos 7 θ) +. . .
Ver también
- Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala
- Lilavati
- Sankara Variar
Referencias
- ^ Sternbach, Ludwik. "Revisión de Lilavati de Bhaskaracarya con Kriyakramakari" (PDF) . Revista de la Sociedad Oriental Americana. Archivado desde el original (PDF) el 27 de julio de 2011 . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
- ^ Joseph, George Gheverghese. "El desarrollo de series infinitas en tres culturas - antecedentes y logros internos" . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
- ^ a b c d e Plofker, Kim (18 de enero de 2009). Matemáticas en India . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 221–248. ISBN 978-0-691-12067-6.
- ^ Hayashi, Takao (2000). "Reglas aritméticas de Govindasvami citadas en Kriyakramakari de Sankara y Narayana" (PDF) . Revista India de Historia de la Ciencia . 35 (3): 189–231. Archivado desde el original (PDF) el 21 de julio de 2011 . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
- ^ Sarma, KV (1975). Lilavati editó con el comentario Kriyakramakari de Sankara y Narayana . Hoshiarpur: Vishveshvaranand Vedic Research Institute.
- ^ Hayashi, Takao. "E-texto del Lilavati de Bhaskara II" . Consultado el 5 de marzo de 2011 .
- ^ John, Taylor (1816). Lilawati o un tratado de aritmética y geometría . pag. 94.