Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel'schen Gleichungen mit Quadratwurzeln racionaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel'schen Gleichungen durch die Kreisteilungsgleicungsgleicungsgleicungsgleichungen
El Jugendtraum de Kronecker o el duodécimo problema de Hilbert , de los 23 problemas matemáticos de Hilbert , es la extensión del teorema de Kronecker-Weber sobre extensiones abelianas de los números racionales , a cualquier campo numérico base . Es decir, pide análogos de las raíces de la unidad , como números complejos que son valores particulares de la función exponencial ; el requisito es que dichos números generen toda una familia de campos numéricos adicionales que sean análogos a los campos ciclotómicos y sus subcampos.
La teoría clásica de la multiplicación compleja , ahora a menudo conocida como Kronecker Jugendtraum , hace esto para el caso de cualquier campo cuadrático imaginario , mediante el uso de funciones modulares y funciones elípticas elegidas con una red de período particular relacionada con el campo en cuestión. Goro Shimura extendió esto a los campos de CM. En el caso especial de campos totalmente reales, Dasgupta y Kakde dieron una solución. Esto proporciona un método efectivo para construir la extensión abeliana máxima de cualquier campo totalmente real. El método se basa en la integración p-ádica y la solución que proporciona para campos totalmente reales es de naturaleza diferente a la que Hilbert tenía en mente en su formulación original. Darmon, Pozzi y Vonk dieron una solución en el caso más especial de campos cuadráticos totalmente reales, que también se basan en métodos p-ádicos.
Leopold Kronecker describió el complejo problema de la multiplicación como su liebster Jugendtraum o “el sueño más querido de su juventud”.
El problema fundamental de la teoría de números algebraicos es describir los campos de los números algebraicos . El trabajo de Galois dejó en claro que las extensiones de campo están controladas por ciertos grupos , los grupos de Galois . La situación más simple, que ya está en el límite de lo bien entendido, es cuando el grupo en cuestión es abeliano . Todas las extensiones cuadráticas, obtenidas uniendo las raíces de un polinomio cuadrático, son abelianas, y su estudio fue iniciado por Gauss . Otro tipo de extensión abeliana del campo Q de los números racionales se da adjuntando el nth raíces de la unidad, lo que resulta en los campos ciclotómicos . Gauss ya había demostrado que, de hecho, todo campo cuadrático está contenido en un campo ciclotómico mayor. El teorema de Kronecker-Weber muestra que cualquier extensión abeliana finita de Q está contenida en un campo ciclotómico. La pregunta de Kronecker (y de Hilbert) aborda la situación de un campo numérico algebraico más general K : ¿cuáles son los números algebraicos necesarios para construir todas las extensiones abelianas de K ? La respuesta completa a esta pregunta se ha resuelto por completo solo cuando K es un campo cuadrático imaginario o su generalización, un campo CM .