Teorema fundamental
Dejar
ser un anillo local noetheriano y yo un
- ideal primario (es decir, se encuentra entre algún poder de
y
). Dejar
ser la serie de Poincaré del anillo graduado asociado
. Es decir,
![F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{{n+1}})t^{n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
se refiere a la longitud de un módulo (sobre un anillo artiniano
). Si
genero yo , luego su imagen en
tener grado 1 y generar
como
-álgebra. Según el teorema de Hilbert-Serre , F es una función racional con exactamente un polo en
de orden
. Desde
,
encontramos que el coeficiente de
en
es de la forma
![{\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=\left(1-t)^{d}F(t)\right|_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es decir,
es un polinomio
en n de grado
. P se llama polinomio de Hilbert de
.
Establecimos
. También establecemos
ser el número mínimo de elementos de R que pueden generar una
ideales -primaria de R . Nuestra ambición es demostrar el teorema fundamental :
.
Ya que podemos tomar s por ser
, Nosotros ya tenemos
de lo anterior. A continuación probamos
por inducción en
. Dejar
ser una cadena de ideales primos en R . Dejar
y x un distinto de cero elemento nonunit en D . Dado que x no es un divisor de cero, tenemos la secuencia exacta
.
La cota de grado del polinomio de Hilbert-Samuel ahora implica que
. (Esto se sigue esencialmente del lema de Artin-Rees ; véase la función de Hilbert-Samuel para el enunciado y la prueba).
, La cadena
se convierte en una cadena de longitud
y así, por hipótesis inductiva y nuevamente por la estimación de grado,
.
La afirmación sigue. Ahora queda por mostrar
Más precisamente, mostraremos:
- Lema : el ideal máximo
contiene elementos
, d = Dimensión de Krull de R , tal que, para cualquier i , cualquier ideal primo que contenga
tiene altura
.
(Darse cuenta:
es entonces
-primaria.) Se omite la prueba. Aparece, por ejemplo, en Atiyah – MacDonald. Pero también se puede suministrar de forma privada; la idea es utilizar la evitación principal .
Consecuencias del teorema fundamental
Dejar
ser un anillo local noetheriano y poner
. Luego
, ya que una base de
ascensores a un grupo electrógeno de
por Nakayama. Si la igualdad se mantiene, entonces R se denomina anillo local regular .
, desde
.- ( Teorema del ideal principal de Krull ) La altura del ideal generado por elementos
en un anillo noetheriano es como máximo el s . Por el contrario, un ideal primo de altura s es mínimo sobre un ideal generado por elementos s . (Prueba: Deje
ser un mínimo ideal primordial sobre tal ideal. Luego
. Lo contrario se demostró en el curso de la demostración del teorema fundamental.)
Teorema - Si
es un morfismo de anillos locales noetherianos, entonces
[1]
La igualdad se mantiene si
es plano o más generalmente si tiene la propiedad descendente .
Prueba: dejar
generar un
-ideal primario y
ser tal que sus imágenes generen una
-ideal primario. Luego
para algunos s . Elevando ambos lados a poderes superiores, vemos cierto poder de
está contenido en
; es decir, el último ideal es
-primario; por lo tanto,
. La igualdad es una aplicación sencilla de la propiedad descendente.
Proposición : si R es un anillo noetheriano, entonces
.
Prueba: si
son una cadena de ideales primos en R , entonces
son una cadena de ideales primordiales en
tiempo
no es un ideal máximo. Por lo tanto,
. Para la desigualdad inversa, sea
ser un ideal máximo de
y
. Claramente,
. Desde
es entonces una localización de un dominio ideal principal y tiene una dimensión como máximo uno, obtenemos
por la desigualdad anterior. Desde
es arbitrario, sigue
.
Fórmula de altitud de Nagata
Prueba: [2] Primero suponga
es un anillo polinomial. Por inducción sobre el número de variables, basta con considerar el caso
. Dado que R ' es plano sobre R ,
.
Según el lema de normalización de Noether , el segundo término del lado derecho es:
![\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg}_{{\kappa ({\mathfrak {p}})}}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg}_{R}R'-\operatorname {tr.deg}\kappa ({\mathfrak {p}}').](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A continuación, suponga
es generado por un solo elemento; por lo tanto,
. Si I = 0, entonces ya hemos terminado. Supongamos que no. Luego
es algebraico sobre R y entonces
. Dado que R es un subanillo de R ' ,
y entonces
desde
es algebraico sobre
. Dejar
denotar la imagen previa en
de
. Entonces como
, por el caso del polinomio,
![\operatorname {ht}{{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht}{{\mathfrak {p}}^{{\prime c}}/I}\leq \operatorname {ht}{{\mathfrak {p}}^{{\prime c}}}-\operatorname {ht}{I}=\dim R_{{{\mathfrak {p}}}}-\operatorname {tr.deg}_{{\kappa ({\mathfrak {p}})}}\kappa ({\mathfrak {p}}').](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí, observe que la desigualdad es la igualdad si R ' es catenaria. Finalmente, trabajando con una cadena de ideales primarios, es sencillo reducir el caso general al caso anterior.
Ver también: anillo cuasi-sin mezclar .
Anillos regulares
Sea R un anillo noetheriano. La dimensión proyectiva de un módulo R finito M es la longitud más corta de cualquier resolución proyectiva de M (posiblemente infinita) y se denota por
. Establecimos
; se llama la dimensión global de R .
Suponga que R es local con un campo de residuos k .
Lema -
(posiblemente infinito).
Prueba: Reclamamos: para cualquier módulo R finito M ,
.
Por cambio de dimensión (cf. la demostración del teorema de Serre a continuación), es suficiente para probar esto para
. Pero luego, según el criterio local de planitud ,
Ahora,
![\operatorname {gl.dim}R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd}_{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor}_{{n+1}}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd}_{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim}R\leq n,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
completando la prueba.
Observación : La prueba también muestra que
si M no es libre y
es el núcleo de algunas surjection de un módulo libre a M .
Lema - Dejar
, F un no-zerodivisor de R . Si f no es un divisor cero en M , entonces
.
Prueba: si
, entonces M está libre de R y por lo tanto
es
-libre. Siguiente suponga
. Entonces nosotros tenemos:
como en el comentario anterior. Así, por inducción, basta con considerar el caso
. Luego hay una resolución proyectiva:
, lo que da:
.
Pero
Por eso,
es como máximo 1.
Teorema de Serre - R regular
Prueba: [3] Si R es regular, podemos escribir
,
un sistema regular de parámetros. Una secuencia exacta
, algunos f en el ideal máximo, de módulos finitos,
, Nos da:
![0=\operatorname {Tor}_{{i+1}}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor}_{{i+1}}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor}_{i}^{R}(M,k){\overset {f}\to }\operatorname {Tor}_{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd}_{R}M.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Pero f aquí es cero ya que mata a k . Por lo tanto,
y consecuentemente
. Usando esto, obtenemos:
![\operatorname {pd}_{R}k=1+\operatorname {pd}_{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{{n-1}}))=\cdots =n.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La prueba de lo contrario es por inducción en
. Comenzamos con el paso inductivo. Colocar
,
entre un sistema de parámetros. Para mostrar que R es regular, basta con mostrar
es regular. Pero desde
, por hipótesis inductiva y el lema anterior con
,
![\operatorname {gl.dim}R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim}R_{1}=\operatorname {pd}_{{R_{1}}}k\leq \operatorname {pd}_{{R_{1}}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El paso básico permanece. Suponer
. Reclamamos
si es finito. (Esto implicaría que R es un anillo local semisimple ; es decir, un campo). Si ese no es el caso, entonces hay algún módulo finito
con
y así, de hecho, podemos encontrar M con
. Según el lema de Nakayama, hay una sospecha
de un módulo libre F a M cuyo núcleo K está contenido en
. Desde
, el ideal máximo
es un primo asociado de R ; es decir,
para algunos distinto de cero s en R . Desde
,
. Dado que K no es cero y es libre, esto implica
, lo cual es absurdo.
Corolario : un anillo local regular es un dominio de factorización único.
Prueba: Sea R un anillo local regular. Luego
, que es un dominio integralmente cerrado. Es un ejercicio de álgebra estándar demostrar que esto implica que R es un dominio integralmente cerrado. Ahora, necesitamos mostrar que todo ideal divisorio es principal; es decir, el grupo de clase divisor de R desaparece. Pero, según Bourbaki, Algèbre conmutativo, capítulo 7, §. 4. Corolario 2 de la Proposición 16, un ideal divisorio es principal si admite una resolución libre finita, que es de hecho el caso del teorema.
Teorema : Sea R un anillo. Luego
.
Profundidad
Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Una secuencia de elementos
en
se llama una M - secuencia regular si
no es un divisor de cero en
y
no es un divisor de cero en
para cada
. A priori , no es obvio si alguna permutación de una secuencia regular sigue siendo regular (consulte la sección a continuación para obtener una respuesta positiva).
Sea R un anillo local de Noether con ideal máximo
y pon
. Entonces, por definición, la profundidad de un módulo R finito M es el supremo de las longitudes de todas las secuencias M -regulares en
. Por ejemplo, tenemos
consta de zerodivisores en M
está asociada con M . Por inducción, encontramos
![\operatorname {depth}M\leq \dim R/{{\mathfrak {p}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cualquier primo asociado
de M . En particular,
. Si la igualdad se cumple para M = R , R se denomina anillo de Cohen-Macaulay .
Ejemplo : un anillo local noetheriano regular es Cohen-Macaulay (ya que un sistema regular de parámetros es una secuencia R -regular).
En general, un anillo noetheriano se denomina anillo de Cohen-Macaulay si las localizaciones en todos los ideales máximos son Cohen-Macaulay. Observamos que un anillo de Cohen-Macaulay es universalmente catenaria. Esto implica, por ejemplo, que un anillo polinomial
es universalmente catenaria ya que es regular y por lo tanto Cohen-Macaulay.
Proposición (Rees) - Sea M un módulo R finito . Luego
.
De manera más general, para cualquier módulo R finito N cuyo soporte sea exactamente
,
.
Prueba: Primero probamos por inducción en n la siguiente declaración: para cada R -módulo M y cada M- secuencia regular
en
,
- (*)
![\operatorname {Ext}_{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Hom}_{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El paso básico n = 0 es trivial. A continuación, por hipótesis inductiva,
. Pero este último es cero ya que el aniquilador de N contiene algún poder de
. Por lo tanto, de la secuencia exacta
y el hecho de que
mata a N , usando de nuevo la hipótesis inductiva, obtenemos
,
probando (*). Ahora si
, entonces podemos encontrar una secuencia M -regular de longitud mayor que ny así por (*) vemos
. Queda por mostrar
Si
. Por (*) podemos asumir n = 0. Entonces
está asociado con M ; por lo tanto es en el apoyo de M . Por otro lado,
De acuerdo con el álgebra lineal se deduce que hay un homomorfismo distinto de cero de N a M módulo
; por lo tanto, uno de N a M según el lema de Nakayama.
La fórmula de Auslander-Buchsbaum relaciona profundidad y dimensión proyectiva.
Teorema - Let M ser un módulo finita sobre un anillo noetheriano local de R . Si
, luego
![\operatorname {pd}_{R}M+\operatorname {depth}M=\operatorname {depth}R.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba: Argumentamos por inducción sobre
, siendo el caso básico (es decir, M libre) trivial. Según el lema de Nakayama, tenemos la secuencia exacta
donde F es libre y la imagen de f está contenida en
. Desde
lo que tenemos que mostrar es
. Dado que f mata a k , la secuencia exacta produce: para cualquier i ,
![\operatorname {Ext}_{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext}_{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext}_{R}^{{i+1}}(k,K)\to 0.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que el término más a la izquierda es cero si
. Si
, entonces desde
por hipótesis inductiva, vemos
Si
, luego
y debe ser
Como cuestión de notación, para cualquier módulo R M , dejamos
![{\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M\mid \operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M\mid {\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se ve sin dificultad que
es un functor exacto a la izquierda y luego deja
ser su j -ésimo derecho derivado funtor , llamado el cohomology locales de R . Desde
, a través de absurdos abstractos,
.
Esta observación prueba la primera parte del teorema siguiente.
Prueba: 1. ya se señaló (excepto para mostrar la no desaparición en el grado igual a la profundidad de M ; use la inducción para ver esto) y 3. es un hecho general por absurdo abstracto. 2. es una consecuencia de un cálculo explícito de una cohomología local mediante complejos de Koszul (ver más abajo).
Complejo de Koszul
Sea R un anillo yx un elemento en él. Formamos el complejo de cadenas K ( x ) dado por
para i = 0, 1 y
para cualquier otra i con el diferencial
![d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para cualquier módulo R M , obtenemos el complejo
con el diferencial
y deja
sea su homología. Nota:
![{\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M\mid xm=0\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera más general, dada una secuencia finita
de elementos en un anillo R , formamos el producto tensorial de complejos :
![K(x_{1},\dots ,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y deja
su homología. Como antes,
,
.
Ahora tenemos la caracterización homológica de una secuencia regular.
Corolario : la secuencia
es M -regular si y solo si alguna de sus permutaciones es así.
Corolario - Si
es una secuencia M -regular, entonces
es también una secuencia M -regular para cada entero positivo j .
Un complejo de Koszul es una poderosa herramienta computacional. Por ejemplo, se sigue del teorema y el corolario
![\operatorname {H}_{{{\mathfrak {m}}}}^{i}(M)\simeq \varinjlim \operatorname {H}^{i}(K(x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j};M))](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Aquí, uno usa la auto-dualidad de un complejo de Koszul; vea la Proposición 17.15. De Eisenbud, Álgebra conmutativa con una visión hacia la geometría algebraica ).
Otro caso sería
Teorema : suponga que R es local. Entonces deja
,
la dimensión del espacio tangente de Zariski (a menudo llamada dimensión de incrustación de R ). Luego
.
Observación : El teorema puede usarse para dar una segunda prueba rápida del teorema de Serre, que R es regular si y solo si tiene una dimensión global finita. De hecho, según el teorema anterior,
y por lo tanto
. Por otro lado, como
, la fórmula de Auslander-Buchsbaum da
. Por eso,
.
A continuación, usamos una homología de Koszul para definir y estudiar anillos de intersección completos . Sea R un anillo local noetheriano. Por definición, la primera desviación de R es la dimensión del espacio vectorial
![\epsilon _{1}(R)=\dim _{k}\operatorname {H}_{1}(\underline {x})](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es un sistema de parámetros. Por definición, R es un anillo de intersección completo si
es la dimensión del espacio tangente. (Ver Hartshorne para un significado geométrico).
Teorema - R es un anillo de intersección completo si y solo si su álgebra de Koszul es un álgebra exterior.
Dimensión inyectiva y dimensiones Tor
Sea R un anillo. La dimensión inyectiva de un módulo R M denotado por
se define como una dimensión proyectiva: es la longitud mínima de una resolución inyectiva de M . Dejar
ser la categoría de R -modules.
Teorema : para cualquier anillo R ,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gl.dim} R\,&=\operatorname {sup} \{\operatorname {id} _{R}M\mid M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\\&=\inf\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba: Supongamos
. Sea M un módulo R y considere una resolución
![0\to M\to I_{0}{\overset {\phi _{0}}\to }I_{1}\to \dots \to I_{{n-1}}{\overset {\phi _{{n-1}}}\to }N\to 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
son módulos inyectivos. Por cualquier ideal yo ,
![\operatorname {Ext}_{R}^{1}(R/I,N)\simeq \operatorname {Ext}_{R}^{2}(R/I,\operatorname {ker}(\phi _{{n-1}}))\simeq \dots \simeq \operatorname {Ext}_{R}^{{n+1}}(R/I,M),](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es cero desde
se calcula mediante una resolución proyectiva de
. Por tanto, según el criterio de Baer , N es inyectivo. Concluimos que
. Básicamente, invirtiendo las flechas, también se puede probar la implicación de otra manera.
El teorema sugiere que consideramos una especie de dual de dimensión global:
![{\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} =\inf\{n\mid \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Originalmente fue llamado al débil dimensión global de R pero hoy en día se llama comúnmente la dimensión Tor de R .
Observación: para cualquier anillo R ,
.
Proposición : un anillo tiene una dimensión global débil cero si y solo si es regular de von Neumann .