En álgebra y geometría algebraica , dado un anillo noetheriano conmutativo y un ideal en él, el n -ésimo poder simbólico de es el ideal
dónde es la localización de a y la intersección atraviesa todos los primos asociados de
Aunque esta definición no requiere para ser primo , esta suposición a menudo se trabaja porque en el caso de un ideal primo , el poder simbólico se puede definir de manera equivalente como el- componente principal de. De manera muy aproximada, consta de funciones con ceros de orden n a lo largo de la variedad definida por. Tenemos:y si es un ideal máximo , entonces.
Los poderes simbólicos inducen la siguiente cadena de ideales:
Usos
El estudio y uso de poderes simbólicos tiene una larga historia en álgebra conmutativa . La famosa demostración de Krull de su principal teorema ideal los usa de manera esencial. Surgieron por primera vez después de que se probaran las descomposiciones primarias de los anillos noetherianos . Zariski utilizó poderes simbólicos en su estudio de la normalidad analítica de las variedades algebraicas . El famoso lema de Chevalley que compara topologías establece que en un dominio local completo la topología de poderes simbólicos de cualquier primo es más fina que la topología m -ádica . Un paso crucial en el teorema de la desaparición de la cohomología local de Hartshorne y Lichtenbaum usa eso para un primo.definir una curva en un dominio local completo , los poderes deson cofinales con los poderes simbólicos de. Esta importante propiedad de ser cofinal fue desarrollada por Schenzel en la década de 1970. [1]
En geometría algebraica
Aunque los generadores de poderes ordinarios de son bien entendidos cuando se da en términos de sus generadores como , sigue siendo muy difícil en muchos casos determinar los generadores de poderes simbólicos de . Pero en el entorno geométrico , hay una clara interpretación geométrica en el caso en quees un ideal radical sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero .
Si es una variedad irreductible cuyo ideal de desvanecimiento es, entonces la potencia diferencial deconsta de todas las funciones enque se desvanecen por orden ≥ n en, es decir
O de manera equivalente, si es el ideal máximo para un punto, .
Teorema (Nagata, Zariski) [2] Seaser un ideal primo en un anillo polinomial sobre un campo algebraicamente cerrado. Luego
Este resultado puede extenderse a cualquier ideal radical . [3] Esta formulación es muy útil porque, en característica cero , podemos calcular las potencias diferenciales en términos de generadores como:
Para otra formulación, podemos considerar el caso en el que el anillo base es un anillo polinomial sobre un campo . En este caso, podemos interpretar el n -ésimo poder simbólico como el haz de todos los gérmenes de función sobre De hecho, si es una variedad suave sobre un campo perfecto , entonces
- [1]
Contención
Es natural considerar si los poderes simbólicos concuerdan o no con los poderes ordinarios, es decir, ¿ ¿mantener? En general, este no es el caso. Un ejemplo de esto es el ideal principal. Aquí tenemos eso. [1] Sin embargo,se sostiene y la generalización de esta inclusión se comprende bien. De hecho, la contenciónse desprende de la definición. Además, se sabe que si y solo si . La prueba se deriva del lema de Nakayama . [4]
Ha habido un estudio extenso sobre la otra contención, cuando los poderes simbólicos están contenidos en los poderes ordinarios de los ideales, a los que se hace referencia como el Problema de la Contención. Una vez más, esto tiene una respuesta fácil de expresar que se resume en el siguiente teorema. Fue desarrollado por Ein, Lazarfeld y Smith en característica cero [5] y fue ampliado a característica positiva por Hochster y Huneke. [6] Ambos artículos se basan en los resultados de Irena Swanson en Linear Equivalence of Ideal Topologies (2000). [7]
Teorema (Ein, Lazarfeld, Smith; Hochster, Huneke) Seaser un ideal homogéneo . Entonces la inclusión
- se mantiene para todos
Posteriormente se verificó que el límite deen el teorema no puede ajustarse a los ideales generales. [8] Sin embargo, siguiendo una pregunta planteada [8] por Bocci, Harbourne y Huneke, se descubrió que existe un mejor límite en algunos casos.
Teorema La inclusión para todos sostiene
- para ideales arbitrarios en la característica 2; [9]
- para ideales monomiales en característica arbitraria [4]
- para ideales de d-stars [8]
- para ideales de puntos generales en PAG 2 y PAG 3 {\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} {\ text {y}} \ mathbb {P} ^ {3}} [10] [11]
Referencias
- ^ a b c Dao, Hailong; De Stefani, Alessandro; Grifo, Eloísa; Huneke, Craig; Núñez-Betancourt, Luis (9 de agosto de 2017). "Poderes simbólicos de los ideales". arXiv : 1708.03010 [ math.AC ].
- ^ David Eisenbud. Álgebra conmutativa: con miras a la geometría algebraica, volumen 150. Springer Science & Business Media, 2013.
- ^ Sidman, Jessica; Sullivant, Seth (2006). "Prolongaciones y álgebra computacional". arXiv : matemáticas / 0611696 .
- ^ a b Bauer, Thomas; Di Rocco, Sandra ; Harbourne, Brian; Kapustka, Michał; Knutsen, Andreas; Syzdek, Wioletta; Szemberg, Tomasz (2009). "Una introducción a las constantes de Seshadri". En Bates, Daniel J .; Besana, GianMario; Di Rocco, Sandra; Wampler, Charles W. (eds.). Interacciones de la geometría algebraica clásica y numérica: artículos de la conferencia en honor a Andrew Sommese celebrada en la Universidad de Notre Dame, Notre Dame, IN, del 22 al 24 de mayo de 2008 . Matemáticas contemporáneas. 496 . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 33–70. doi : 10.1090 / conm / 496/09718 . Señor 2555949 .
- ^ Lawrence Ein, Robert Lazarsfeld y Karen E Smith. Límites uniformes y poderes simbólicos en variedades suaves. Inventiones mathicae, 144 (2): 241–252, 2001
- ^ Melvin Hochster y Craig Huneke. Comparación de poderes de ideales simbólicos y ordinarios. Inventiones mathicae, 147 (2): 349–369, 2002.
- ^ Irena Swanson . Equivalencia lineal de topologías ideales. Mathematische Zeitschrift, 234 (4): 755–775, 2000
- ^ a b c Bocci, Cristiano; Harbourne, Brian (2007). "Comparación de poderes y poderes simbólicos de los ideales". arXiv : 0706.3707 [ math.AG ].
- ^ Tomasz Szemberg y Justyna Szpond. Sobre el problema de la contención. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Serie 2, páginas 1–13, 2016.
- ^ Marcin Dumnicki. Contenciones de poderes simbólicos de ideales de puntos genéricos en P 3. Actas de la American Mathematical Society, 143 (2): 513-530, 2015.
- ^ Harbourne, Brian; Huneke, Craig (2011). "¿Están los poderes simbólicos altamente evolucionados?". arXiv : 1103.5809 [ math.AC ].
enlaces externos
- Melvin Hochster , Math 711: Conferencia del 7 de septiembre de 2007