Espacio LP
En matemáticas , los espacios L p son espacios funcionales definidos usando una generalización natural de la p -norm para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se llaman espacios de Lebesgue , el nombre de Henri Lebesgue ( Dunford y Schwartz 1958 , III.3), aunque según el Bourbaki grupo ( Bourbaki 1987 ) que se introdujo por primera vez por Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ). Los espacios L p forman una clase importante de espacios de Banach enanálisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de los espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue se utilizan también en la discusión teórica de problemas en física, estadística, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.
En estadística , las medidas de tendencia central y dispersión estadística , como la media , la mediana y la desviación estándar , se definen en términos de métricas L p , y las medidas de tendencia central pueden caracterizarse como soluciones a problemas variacionales .
En la regresión penalizada, "penalización L1" y "penalización L2" se refieren a penalizar la norma L 1 del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma L 2 (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan soluciones donde muchos parámetros son cero. Las técnicas que utilizan una penalización L2, como la regresión de crestas , fomentan soluciones en las que la mayoría de los valores de los parámetros son pequeños. La regularización neta elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma L 1 y la norma L 2 del vector de parámetros.
La transformada de Fourier para la línea real (o, para funciones periódicas , ver series de Fourier ), mapea L p ( R ) a L q ( R ) (o L p ( T ) a ℓ q ) respectivamente, donde 1 ≤ p ≤ 2 y 1 / p + 1 / q = 1 . Esto es una consecuencia del teorema de interpolación de Riesz-Thorin , y se precisa con elDesigualdad de Hausdorff-Young .
Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios L 2 y ℓ 2 son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert E , es decir, un subconjunto ortonormal máximo de L 2 o cualquier espacio de Hilbert, uno ve que cada espacio de Hilbert es isomórficamente isomórfico a ℓ 2 ( E ) (la misma E que arriba), es decir, un Hilbert espacio de tipo ℓ 2 .
La longitud de un vector x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) en el espacio vectorial real n- dimensional R n suele estar dada por la norma euclidiana :
