En matemáticas , los espacios L p son espacios funcionales definidos usando una generalización natural de la p -norm para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se llaman espacios de Lebesgue , el nombre de Henri Lebesgue ( Dunford y Schwartz 1958 , III.3), aunque según el Bourbaki grupo ( Bourbaki 1987 ) que se introdujo por primera vez por Frigyes Riesz ( Riesz 1910 ). Los espacios L p forman una clase importante de espacios de Banach enanálisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de los espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue se utilizan también en la discusión teórica de problemas en física, estadística, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.
Aplicaciones
Estadísticas
En estadística , las medidas de tendencia central y dispersión estadística , como la media , la mediana y la desviación estándar , se definen en términos de métricas L p , y las medidas de tendencia central pueden caracterizarse como soluciones a problemas variacionales .
En la regresión penalizada, "penalización L1" y "penalización L2" se refieren a penalizar la norma L 1 del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma L 2 (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan soluciones donde muchos parámetros son cero. Las técnicas que utilizan una penalización L2, como la regresión de crestas , fomentan soluciones en las que la mayoría de los valores de los parámetros son pequeños. La regularización neta elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma L 1 y la norma L 2 del vector de parámetros.
Desigualdad de Hausdorff-Young
La transformada de Fourier para la línea real (o, para funciones periódicas , ver series de Fourier ), mapea L p ( R ) a L q ( R ) (o L p ( T ) a ℓ q ) respectivamente, donde 1 ≤ p ≤ 2 y 1 / p + 1 / q = 1 . Esto es una consecuencia del teorema de interpolación de Riesz-Thorin , y se precisa con la desigualdad de Hausdorff-Young .
Por el contrario, si p > 2 , la transformada de Fourier no se asigna a L q .
Espacios de Hilbert
Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios L 2 y ℓ 2 son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert (es decir, un subconjunto ortonormal máximo de L 2 o cualquier espacio de Hilbert), se ve que todos los espacios de Hilbert son isométricos a ℓ 2 ( E ) , donde E es un conjunto con una cardinalidad apropiada.
La p -norm en dimensiones finitas
La longitud de un vector x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) en el espacio vectorial real n- dimensional R n suele estar dada por la norma euclidiana :
La distancia euclidiana entre dos puntos x y y es la longitud || x - y || 2 de la línea recta entre los dos puntos. En muchas situaciones, la distancia euclidiana es insuficiente para capturar las distancias reales en un espacio dado. Una analogía a esto es sugerida por los taxistas en un plano de calles de cuadrícula que deben medir la distancia no en términos de la longitud de la línea recta hasta su destino, sino en términos de la distancia rectilínea , que tiene en cuenta que las calles son ortogonales o bien. paralelos entre sí. La clase de p -norms generaliza estos dos ejemplos y tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchas partes de las matemáticas , la física y la informática .
Definición
Para un número real p ≥ 1 , la p -norm o L p -norm de x se define por
Las barras de valor absoluto son innecesarias cuando p es un número racional y, en forma reducida, tiene un numerador par.
La norma euclidiana de arriba cae en esta clase y es la norma 2 , y la norma 1 es la norma que corresponde a la distancia rectilínea .
La L ∞ -norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de los L p -norms para p → ∞ . Resulta que este límite equivale a la siguiente definición:
Ver L -infinito .
Para todo p ≥ 1 , las p -normas y la norma máxima tal como se definieron anteriormente satisfacen las propiedades de una "función de longitud" (o norma ), que son las siguientes:
- solo el vector cero tiene longitud cero,
- la longitud del vector es positiva homogénea con respecto a la multiplicación por un escalar ( homogeneidad positiva ), y
- la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores ( desigualdad del triángulo ).
Hablando en abstracto, esto significa que R n junto con la p -norm es un espacio de Banach . Este espacio de Banach es el L p -espacio sobre R n .
Relaciones entre p -normas
La distancia de la cuadrícula o distancia rectilínea (a veces llamada " distancia de Manhattan ") entre dos puntos nunca es más corta que la longitud del segmento de línea entre ellos (la distancia euclidiana o "en línea recta"). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está limitada por su norma 1:
Este hecho se generaliza a p -normas en que la p -norm || x || p de cualquier vector x dado no crece con p :
- || x || p + a ≤ || x || p para cualquier vector x y números reales p ≥ 1 y a ≥ 0 . (De hecho, esto sigue siendo cierto para 0 < p <1 y a ≥ 0 ).
Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la norma 1 y la norma 2 :
Esta desigualdad depende de la dimensión n del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
En general, para vectores en C n donde 0 < r < p :
Esta es una consecuencia de la desigualdad de Hölder .
Cuando 0 < p <1
En R n para n > 1 , la fórmula
define una función absolutamente homogénea para 0 < p <1 ; sin embargo, la función resultante no define una norma, porque no es subaditiva . Por otro lado, la fórmula
define una función subaditiva a costa de perder la homogeneidad absoluta. Sin embargo, define una norma F que es homogénea de grado p .
Por lo tanto, la función
define una métrica . El espacio métrico ( R n , d p ) se denota por ℓ n p .
Aunque la bola p -unitaria B n p alrededor del origen en esta métrica es "cóncava", la topología definida en R n por la métrica d p es la topología de espacio vectorial habitual de R n , por lo tanto, ℓ n p es una topología localmente convexa. espacio vectorial. Más allá de este enunciado cualitativo, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de ℓ n p es denotar por C p ( n ) la constante más pequeña C tal que el múltiplo C B n p de la bola p -unitaria contiene el casco convexo de B n p , igual a B n 1 . El hecho de que para p <1 fijo tenemos
muestra que el espacio secuencial de dimensión infinita ℓ p definido a continuación, ya no es localmente convexo. [ cita requerida ]
Cuando p = 0
Hay una norma ℓ 0 y otra función llamada "norma" ℓ 0 (entre comillas).
La definición matemática de la norma ℓ 0 fue establecida por la Teoría de Operaciones Lineales de Banach . El espacio de secuencias tiene una topología métrica completa proporcionada por la norma F
que es discutido por Stefan Rolewicz en Metric Linear Spaces . [1] El espacio con norma ℓ 0 se estudia en análisis funcional, teoría de probabilidad y análisis armónico.
Otra función fue denominada ℓ 0 "norma" por David Donoho —cuyas comillas advierten que esta función no es una norma propiamente dicha — es el número de entradas distintas de cero del vector x . Muchos autores abusan de la terminología omitiendo las comillas. Definiendo 0 0 = 0 , la "norma" cero de x es igual a
Esto no es una norma porque no es homogéneo . Por ejemplo, escalar el vector x por una constante positiva no cambia la "norma". A pesar de estos defectos como norma matemática, la "norma" de conteo diferente de cero tiene usos en la computación científica , la teoría de la información y la estadística , especialmente en la detección comprimida en el procesamiento de señales y el análisis armónico computacional . La "métrica" defectuosa asociada se conoce como distancia de Hamming .
La p -norm en dimensiones infinitas y espacios ℓ p
El espacio de secuencia ℓ p
La p -norm puede extenderse a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio ℓ p . Este contiene como casos especiales:
- ℓ 1 , el espacio de sucesiones cuya serie es absolutamente convergente ,
- ℓ 2 , el espacio desecuencias sumables al cuadrado , que es un espacio de Hilbert , y
- ℓ ∞ , el espacio de secuencias acotadas .
El espacio de secuencias tiene una estructura de espacio vectorial natural aplicando suma y multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para secuencias infinitas de números reales (o complejos ) están dadas por:
Defina la p -norm:
Aquí surge una complicación, a saber, que la serie de la derecha no siempre es convergente, por ejemplo, la secuencia formada solo por unos, (1, 1, 1, ...) , tendrá una p -norm infinita para 1 ≤ p <∞ . El espacio ℓ p se define entonces como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (o complejos) tales que la p -norm es finita.
Se puede comprobar que a medida que aumenta p , el conjunto ℓ p aumenta. Por ejemplo, la secuencia
no está en ℓ 1 , pero está en ℓ p para p > 1 , ya que la serie
diverge para p = 1 (la serie armónica ), pero es convergente para p > 1 .
También se define la ∞ -norm usando el supremum :
y el espacio correspondiente ℓ ∞ de todas las secuencias acotadas. Resulta que [2]
si el lado derecho es finito o el lado izquierdo es infinito. Por lo tanto, consideraremos ℓ p espacios para 1 ≤ p ≤ ∞ .
La p -norm así definida en ℓ p es de hecho una norma, y ℓ p junto con esta norma es un espacio de Banach . El espacio L p completamente general se obtiene —como se ve a continuación— considerando vectores, no sólo con un número finito o numerable-infinito de componentes, sino con " muchos componentes arbitrariamente "; en otras palabras, funciones . Se usa una integral en lugar de una suma para definir la p -norm.
General ℓ p- espacio
En completa analogía con la definición anterior, se puede definir el espacio sobre un conjunto de índices general (y ) como
- ,
donde la convergencia a la derecha significa que solo un número numerable de sumandos son distintos de cero (ver también Convergencia incondicional ). Con la norma
el espacio se convierte en un espacio de Banach. En el caso donde es finito con elementos, esta construcción produce R n con el-norm definido anteriormente. Si es numerablemente infinito, este es exactamente el espacio de secuencia definido anteriormente. Para incontables conjuntosEste es un espacio de Banach no separable que puede verse como el límite directo localmente convexo de-espacios de secuencia. [3]
El conjunto de índices se puede convertir en un espacio de medida dándole el σ-álgebra discreta y la medida de conteo . Entonces el espacio es solo un caso especial de la más general -espacio (ver más abajo).
Espacios L p e integrales de Lebesgue
Un espacio L p puede definirse como un espacio de funciones mensurables para las cuales el-ésima potencia del valor absoluto es Lebesgue integrable , donde se identifican funciones que coinciden en casi todas partes. De manera más general, sea 1 ≤ p <∞ y ( S , Σ, μ ) un espacio de medida . Considere el conjunto de todas las funciones medibles de S a C o R cuyo valor absoluto elevado a la p -ésima potencia tiene una integral finita, o equivalentemente, que
El conjunto de tales funciones forma un espacio vectorial , con las siguientes operaciones naturales:
para cada escalar λ .
Que la suma de dos p -ésimas funciones integrables de potencia es nuevamente p -ésima potencia integrable se deduce de la desigualdad
(Esto proviene de la convexidad de por .)
De hecho, más es verdad. La desigualdad de Minkowski dice que la desigualdad del triángulo es válida para || · || p . Por lo tanto, el conjunto de funciones integrables de p -ésima potencia, junto con la función || · || p , es un espacio vectorial seminorizado , que se denota por.
Para p = ∞ , el espacioes el espacio de funciones mensurables delimitado casi en todas partes, con el supremo esencial de su valor absoluto como norma:
Como en el caso discreto, si existe q <∞ tal que f ∈ L ∞ ( S , μ ) ∩ L q ( S , μ ) , entonces
se puede convertir en un espacio vectorial normalizado de forma estándar; uno simplemente toma el espacio del cociente con respecto al núcleo de || · || p . Dado que para cualquier función medible f , tenemos que || f || p = 0 si y solo si f = 0 casi en todas partes , el núcleo de || · || p no depende de p ,
En el espacio del cociente, se identifican dos funciones f y g si f = g casi en todas partes. El espacio vectorial normalizado resultante es, por definición,
En general, este proceso no se puede revertir: no hay una forma coherente de definir un representante "canónico" de cada clase lateral de en . ParaSin embargo, existe una teoría de ascensores que permite dicha recuperación.
Cuando se entiende el espacio de medida subyacente S , L p ( S , μ ) a menudo se abrevia L p ( μ ) , o simplemente L p .
Para 1 ≤ p ≤ ∞, L p ( S , μ ) es un espacio de Banach . El hecho de que L p sea completo a menudo se denomina teorema de Riesz-Fischer y puede demostrarse utilizando los teoremas de convergencia para integrales de Lebesgue .
Las definiciones anteriores se generalizan a los espacios de Bochner .
Casos especiales
Similar a los espacios ℓ p , L 2 es el único espacio de Hilbert entre L p espacios. En el caso complejo, el producto interno en L 2 se define por
La estructura del producto interno adicional permite una teoría más rica, con aplicaciones, por ejemplo, a las series de Fourier y la mecánica cuántica . Las funciones en L 2 a veces se denominan funciones cuadráticamente integrables , funciones cuadráticas integrables o funciones cuadradas sumables , pero a veces estos términos se reservan para funciones que son cuadráticas integrables en algún otro sentido, como en el sentido de una integral de Riemann ( Titchmarsh 1976 ).
Si utilizamos las funciones de valor complejo, el espacio L ∞ es un conmutativa C * -algebra con puntual multiplicación y conjugación. Para muchos espacios de medida, incluidos todos los sigma-finitos, es de hecho un álgebra de von Neumann conmutativa . Un elemento de L ∞ define un operador acotado en cualquier espacio L p por multiplicación .
Para 1 ≤ p ≤ ∞ la ℓ p espacios son un caso especial de L p espacios, cuando S = N , y μ es la medida de recuento en N . De manera más general, si se considera cualquier conjunto S con la medida de conteo, el espacio L p resultante se denota ℓ p ( S ) . Por ejemplo, el espacio ℓ p ( Z ) es el espacio de todas las secuencias indexadas por los enteros, y cuando se define la p -norm en dicho espacio, uno suma todos los enteros. El espacio ℓ p ( n ) , donde n es el conjunto con n elementos, es R n con su p -norm como se definió anteriormente. Como cualquier espacio de Hilbert, cada espacio L 2 es linealmente isométrico a un adecuado ℓ 2 ( I ) , donde la cardinalidad del conjunto I es la cardinalidad de una base Hilbertiana arbitraria para este L 2 particular .
Propiedades de los espacios L p
Espacios duales
El espacio dual (el espacio de Banach de todos los funcionales lineales continuos) de L p ( μ ) para 1 < p <∞ tiene un isomorfismo natural con L q ( μ ) , donde q es tal que 1/pag + 1/q= 1 (es decir, q = pag/p - 1). Este isomorfismo asocia g ∈ L q ( μ ) con el funcional κ p ( g ) ∈ L p ( μ ) ∗ definido por
- para cada
El hecho de que κ p ( g ) esté bien definido y sea continuo se deriva de la desigualdad de Hölder . κ p : L q ( μ ) → L p ( μ ) ∗ es un mapeo lineal que es una isometría por el caso extremo de la desigualdad de Hölder. También es posible demostrar (por ejemplo, con el teorema de Radon-Nikodym , ver [4] ) que cualquier G ∈ L p ( μ ) ∗ puede expresarse de esta manera: es decir, que κ p está sobre . Dado que κ p es sobre e isométrica, es un isomorfismo de los espacios de Banach . Con este isomorfismo (isométrico) en mente, es habitual decir simplemente que L q es el espacio dual de Banach de L p .
Para 1 < p <∞ , el espacio L p ( μ ) es reflexivo . Sea κ p como arriba y sea κ q : L p ( μ ) → L q ( μ ) ∗ la isometría lineal correspondiente. Considere el mapa de L p ( μ ) a L p ( μ ) ∗∗ , obtenido al componer κ q con la transposición (o adjunto) de la inversa de κ p :
Este mapa coincide con la incrustación canónica J de L p ( μ ) en su bidual. Además, el mapa j p está sobre, como composición de dos sobre isometrías, y esto prueba la reflexividad.
Si la medida μ en S es sigma-finita , entonces el dual de L 1 ( μ ) es isométricamente isomórfico a L ∞ ( μ ) (más precisamente, el mapa κ 1 correspondiente ap = 1 es una isometría de L ∞ ( μ ) sobre L 1 ( μ ) ∗ ).
El dual de L ∞ es más sutil. Los elementos de L ∞ ( μ ) ∗ pueden identificarse con medidas acotadas con signo finitamente aditivo en S que son absolutamente continuas con respecto a μ . Consulte el espacio b para obtener más detalles. Si asumimos el axioma de elección, este espacio es mucho mayor que L 1 ( μ ) excepto en algunos casos triviales. Sin embargo, Saharon Shelah demostró que hay extensiones relativamente consistentes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF + DC + "Cada subconjunto de los números reales tiene la propiedad de Baire ") en las que el dual de ℓ ∞ es ℓ 1 . [5]
Embeddings
Colloquially, if 1 ≤ p < q ≤ ∞, then Lp(S, μ) contains functions that are more locally singular, while elements of Lq(S, μ) can be more spread out. Consider the Lebesgue measure on the half line (0, ∞). A continuous function in L1 might blow up near 0 but must decay sufficiently fast toward infinity. On the other hand, continuous functions in L∞ need not decay at all but no blow-up is allowed. The precise technical result is the following.[6] Suppose that 0 < p < q ≤ ∞. Then:
- Lq(S, μ) ⊂ Lp(S, μ) iff S does not contain sets of finite but arbitrarily large measure, and
- Lp(S, μ) ⊂ Lq(S, μ) iff S does not contain sets of non-zero but arbitrarily small measure.
Neither condition holds for the real line with the Lebesgue measure. In both cases the embedding is continuous, in that the identity operator is a bounded linear map from Lq to Lp in the first case, and Lp to Lq in the second. (This is a consequence of the closed graph theorem and properties of Lp spaces.) Indeed, if the domain S has finite measure, one can make the following explicit calculation using Hölder's inequality
leading to
- .
The constant appearing in the above inequality is optimal, in the sense that the operator norm of the identity I : Lq(S, μ) → Lp(S, μ) is precisely
the case of equality being achieved exactly when f = 1 μ-a.e.
Dense subspaces
Throughout this section we assume that: 1 ≤ p < ∞.
Let (S, Σ, μ) be a measure space. An integrable simple function f on S is one of the form
where aj is scalar, Aj ∈ Σ has finite measure and is the indicator function of the set , for j = 1, ..., n. By construction of the integral, the vector space of integrable simple functions is dense in Lp(S, Σ, μ).
More can be said when S is a normal topological space and Σ its Borel σ–algebra, i.e., the smallest σ–algebra of subsets of S containing the open sets.
Suppose V ⊂ S is an open set with μ(V) < ∞. It can be proved that for every Borel set A ∈ Σ contained in V, and for every ε > 0, there exist a closed set F and an open set U such that
It follows that there exists a continuous Urysohn function 0 ≤ φ ≤ 1 on S that is 1 on F and 0 on S ∖ U, with
If S can be covered by an increasing sequence (Vn) of open sets that have finite measure, then the space of p–integrable continuous functions is dense in Lp(S, Σ, μ). More precisely, one can use bounded continuous functions that vanish outside one of the open sets Vn.
This applies in particular when S = Rd and when μ is the Lebesgue measure. The space of continuous and compactly supported functions is dense in Lp(Rd). Similarly, the space of integrable step functions is dense in Lp(Rd); this space is the linear span of indicator functions of bounded intervals when d = 1, of bounded rectangles when d = 2 and more generally of products of bounded intervals.
Several properties of general functions in Lp(Rd) are first proved for continuous and compactly supported functions (sometimes for step functions), then extended by density to all functions. For example, it is proved this way that translations are continuous on Lp(Rd), in the following sense:
where
L p (0 < p <1)
Let (S, Σ, μ) be a measure space. If 0 < p < 1, then Lp(μ) can be defined as above: it is the vector space of those measurable functions f such that
As before, we may introduce the p-norm || f ||p = Np( f )1/p, but || · ||p does not satisfy the triangle inequality in this case, and defines only a quasi-norm. The inequality (a + b) p ≤ a p + b p, valid for a, b ≥ 0 implies that (Rudin 1991, §1.47)
and so the function
is a metric on Lp(μ). The resulting metric space is complete; the verification is similar to the familiar case when p ≥ 1.
In this setting Lp satisfies a reverse Minkowski inequality, that is for u, v in Lp
This result may be used to prove Clarkson's inequalities, which are in turn used to establish the uniform convexity of the spaces Lp for 1 < p < ∞ (Adams & Fournier 2003).
The space Lp for 0 < p < 1 is an F-space: it admits a complete translation-invariant metric with respect to which the vector space operations are continuous. It is also locally bounded, much like the case p ≥ 1. It is the prototypical example of an F-space that, for most reasonable measure spaces, is not locally convex: in ℓ p or Lp([0, 1]), every open convex set containing the 0 function is unbounded for the p-quasi-norm; therefore, the 0 vector does not possess a fundamental system of convex neighborhoods. Specifically, this is true if the measure space S contains an infinite family of disjoint measurable sets of finite positive measure.
The only nonempty convex open set in Lp([0, 1]) is the entire space (Rudin 1991, §1.47). As a particular consequence, there are no nonzero linear functionals on Lp([0, 1]): the dual space is the zero space. In the case of the counting measure on the natural numbers (producing the sequence space Lp(μ) = ℓ p), the bounded linear functionals on ℓ p are exactly those that are bounded on ℓ 1, namely those given by sequences in ℓ ∞. Although ℓ p does contain non-trivial convex open sets, it fails to have enough of them to give a base for the topology.
The situation of having no linear functionals is highly undesirable for the purposes of doing analysis. In the case of the Lebesgue measure on Rn, rather than work with Lp for 0 < p < 1, it is common to work with the Hardy space H p whenever possible, as this has quite a few linear functionals: enough to distinguish points from one another. However, the Hahn–Banach theorem still fails in H p for p < 1 (Duren 1970, §7.5).
L0, the space of measurable functions
The vector space of (equivalence classes of) measurable functions on (S, Σ, μ) is denoted L0(S, Σ, μ) (Kalton, Peck & Roberts 1984). By definition, it contains all the Lp, and is equipped with the topology of convergence in measure. When μ is a probability measure (i.e., μ(S) = 1), this mode of convergence is named convergence in probability.
The description is easier when μ is finite. If μ is a finite measure on (S, Σ), the 0 function admits for the convergence in measure the following fundamental system of neighborhoods
The topology can be defined by any metric d of the form
where φ is bounded continuous concave and non-decreasing on [0, ∞), with φ(0) = 0 and φ(t) > 0 when t > 0 (for example, φ(t) = min(t, 1)). Such a metric is called Lévy-metric for L0. Under this metric the space L0 is complete (it is again an F-space). The space L0 is in general not locally bounded, and not locally convex.
For the infinite Lebesgue measure λ on Rn, the definition of the fundamental system of neighborhoods could be modified as follows
The resulting space L0(Rn, λ) coincides as topological vector space with L0(Rn, g(x) dλ(x)), for any positive λ–integrable density g.
Generalizaciones y extensiones
Weak Lp
Let (S, Σ, μ) be a measure space, and f a measurable function with real or complex values on S. The distribution function of f is defined for t ≥ 0 by
If f is in Lp(S, μ) for some p with 1 ≤ p < ∞, then by Markov's inequality,
A function f is said to be in the space weak Lp(S, μ), or Lp,w(S, μ), if there is a constant C > 0 such that, for all t > 0,
The best constant C for this inequality is the Lp,w-norm of f, and is denoted by
The weak Lp coincide with the Lorentz spaces Lp,∞, so this notation is also used to denote them.
The Lp,w-norm is not a true norm, since the triangle inequality fails to hold. Nevertheless, for f in Lp(S, μ),
and in particular Lp(S, μ) ⊂ Lp,w(S, μ).
In fact, one has
- ,
and raising to power 1/p and taking the supremum in t one has
Under the convention that two functions are equal if they are equal μ almost everywhere, then the spaces Lp,w are complete (Grafakos 2004).
For any 0 < r < p the expression
is comparable to the Lp,w-norm. Further in the case p > 1, this expression defines a norm if r = 1. Hence for p > 1 the weak Lp spaces are Banach spaces (Grafakos 2004).
A major result that uses the Lp,w-spaces is the Marcinkiewicz interpolation theorem, which has broad applications to harmonic analysis and the study of singular integrals.
Weighted Lp spaces
As before, consider a measure space (S, Σ, μ). Let w : S → [0, ∞) be a measurable function. The w-weighted Lp space is defined as Lp(S, w dμ), where w dμ means the measure ν defined by
or, in terms of the Radon–Nikodym derivative, w = dν/dμ the norm for Lp(S, w dμ) is explicitly
As Lp-spaces, the weighted spaces have nothing special, since Lp(S, w dμ) is equal to Lp(S, dν). But they are the natural framework for several results in harmonic analysis (Grafakos 2004); they appear for example in the Muckenhoupt theorem: for 1 < p < ∞, the classical Hilbert transform is defined on Lp(T, λ) where T denotes the unit circle and λ the Lebesgue measure; the (nonlinear) Hardy–Littlewood maximal operator is bounded on Lp(Rn, λ). Muckenhoupt's theorem describes weights w such that the Hilbert transform remains bounded on Lp(T, w dλ) and the maximal operator on Lp(Rn, w dλ).
Lp spaces on manifolds
One may also define spaces Lp(M) on a manifold, called the intrinsic Lp spaces of the manifold, using densities.
Vector-valued Lp spaces
Given a measure space (X, Σ, μ) and a locally-convex space E, one may also define a spaces of p-integrable E-valued functions in a number of ways. The most common of these being the spaces of Bochner integrable and Pettis-integrable functions. Using the tensor product of locally convex spaces, these may be respectively defined as and ; where and respectively denote the projective and injective tensor products of locally convex spaces. When E is a nuclear space, Grothendieck showed that these two constructions are indistinguishable.
Ver también
- Birnbaum–Orlicz space
- Hardy space
- Riesz–Thorin theorem
- Hölder mean
- Hölder space
- Root mean square
- Locally integrable function
- L p ( G ) {\displaystyle \scriptstyle L^{p}(G)} spaces over a locally compact group G {\displaystyle G}
- Minkowski distance
- L-infinity
- Lp sum
Notas
- ^ Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804[page needed]
- ^ Maddox, I. J. (1988), Elements of Functional Analysis (2nd ed.), Cambridge: CUP, page 16
- ^ Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms. in: Topology and its Applications Nr. 270, 2020. Example 2.14
- ^ Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis (2nd ed.), New Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Theorem 6.16
- ^ Schechter, Eric (1997), Handbook of Analysis and its Foundations, London: Academic Press Inc. See Sections 14.77 and 27.44–47
- ^ Villani, Alfonso (1985), "Another note on the inclusion Lp(μ) ⊂ Lq(μ)", Amer. Math. Monthly, 92 (7): 485–487, doi:10.2307/2322503, JSTOR 2322503, MR 0801221
Referencias
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- Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
- DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience.
- Duren, P. (1970), Theory of Hp-Spaces, New York: Academic Press
- Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., pp. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
- Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
- Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
- Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen, 69 (4): 449–497, doi:10.1007/BF01457637, S2CID 120242933
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
- Titchmarsh, EC (1976), The theory of functions, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8
enlaces externos
- "Lebesgue space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Proof that Lp spaces are complete