Enlace Hopf
En la teoría matemática del nudo , el enlace de Hopf es el enlace no trivial más simple con más de un componente. [1] Consiste en dos círculos unidos exactamente una vez, [2] y lleva el nombre de Heinz Hopf . [3]
Un modelo concreto consta de dos círculos unitarios en planos perpendiculares, cada uno pasando por el centro del otro. [2] Este modelo minimiza la longitud del cable del enlace y hasta 2002 el enlace Hopf era el único enlace cuya longitud del cable se conocía. [4] El casco convexo de estos dos círculos forma una forma llamada oloide . [5]
Dependiendo de las orientaciones relativas de los dos componentes, el número de enlace del enlace Hopf es ± 1. [6]
El complemento de nudos del enlace de Hopf es R × S 1 × S 1 , el cilindro sobre un toro . [9] Este espacio tiene una geometría euclidiana localmente , por lo que el enlace de Hopf no es un enlace hiperbólico . El grupo de nudos del enlace de Hopf (el grupo fundamental de su complemento) es Z 2 (el grupo abeliano libre en dos generadores), lo que lo distingue de un par de bucles no vinculados que tiene el grupo libre en dos generadores como grupo. [10]
El Hopf-link no es tricolorable. Esto se ve fácilmente por el hecho de que el enlace solo puede tomar dos colores, lo que lo lleva a fallar en la segunda parte de la definición de tricolor. En cada cruce, tomará un máximo de 2 colores. Así, si satisface la regla de tener más de 1 color, falla la regla de tener 1 o 3 colores en cada cruce. Si satisface la regla de tener 1 o 3 colores en cada cruce, fallará la regla de tener más de 1 color.
La fibración de Hopf es una función continua desde la 3-esfera (una superficie tridimensional en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones) hacia la más familiar 2-esfera , con la propiedad de que la imagen inversa de cada punto en la 2-esfera es una circulo. Por lo tanto, estas imágenes descomponen las 3 esferas en una familia continua de círculos, y cada dos círculos distintos forman un enlace de Hopf. Esta fue la motivación de Hopf para estudiar el vínculo de Hopf: debido a que cada dos fibras están unidas, la fibración de Hopf es una fibración no trivial . Este ejemplo inició el estudio de grupos homotópicos de esferas . [11]
