En la teoría del nudo físico , cada realización de un eslabón o nudo tiene una longitud de cuerda asociada . Intuitivamente, esta es la longitud mínima de una cuerda idealmente flexible que se necesita para atar un eslabón o nudo determinado. Los nudos y eslabones que minimizan la longitud de la cuerda se denominan nudos ideales y eslabones ideales, respectivamente.
Definición
La longitud de la cuerda de una curva anudada se define como la relación , dónde es la longitud de y es el grosor del nudo de.
La longitud de la cuerda se puede convertir en un nudo invariante definiendo la longitud de la cuerda de un nudo ser la longitud mínima de cuerda sobre todas las curvas que se dan cuenta .
Minimizadores de longitud de cuerda
Una de las preguntas más tempranas de la teoría de nudos se planteó en los siguientes términos:
En términos de longitud de cuerda, esto pregunta si hay un nudo con longitud de cuerda . La respuesta es no: un argumento que utiliza quadrisecants muestra que la longitud de la cuerda de cualquier nudo no trivial debe ser al menos. [1] Sin embargo, la búsqueda de la respuesta ha estimulado la investigación tanto en terreno teórico como computacional. Se ha demostrado que para cada tipo de enlace hay un minimizador de longitud de cable, aunque solo puede ser de clase de diferenciabilidad. . [2] [3] Para el nudo no trivial más simple, el nudo trivial, las simulaciones por computadora han demostrado que su longitud mínima de cuerda es como máximo 16.372. [1]
Dependencia del número de cruce
Se ha realizado una búsqueda exhaustiva para mostrar las relaciones entre la longitud de la cuerda y otras invariantes de nudos, como el número de cruce de un nudo. Por cada nudo, la longitud de la cuerda de es al menos proporcional a , dónde denota el número de cruce. [4] Existen nudos y enlaces, a saber, los nudos de toro y- Enlaces Hopf , para los que este límite inferior es estrecho. Es decir, para estos nudos (en notación O grande ), [3]
Por otro lado, también existen nudos cuya longitud de cuerda es mayor, proporcional al número de cruce en sí y no a una potencia menor del mismo. [5] Esto es casi apretado, como para cada nudo,
Referencias
- ^ a b Denne, Elizabeth; Diao, Yuanan; Sullivan, John M. (2006), "Quadrisecants dan nuevos límites inferiores para la longitud de la cuerda de un nudo", Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math / 0408026 , doi : 10.2140 / gt.2006.10.1 , MR 2207788
- ^ González, O .; Maddocks, JH; Schuricht, F .; von der Mosel, H. (2002), "Curvatura global y autocontacto de curvas y varillas elásticas no lineales", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 14 (1): 29–68, doi : 10.1007 / s005260100089 , MR 1883599
- ^ a b Cantarella, Jason; Kusner, Robert B .; Sullivan, John M. (2002), "Sobre la longitud mínima de cuerda de nudos y enlaces" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math / 0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007 / s00222-002-0234-y , MR 1933586
- ^ Buck, Gregory; Simon, Jonathan (1999), "Espesor y número de nudos de cruce", Topología y sus aplicaciones , 91 (3): 245–257, doi : 10.1016 / S0166-8641 (97) 00211-3 , MR 1666650
- ^ Diao, Y .; Ernst, C .; Thistlethwaite, M. (2003), "El crecimiento lineal en las longitudes de una familia de nudos gruesos", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 12 (5): 709–715, doi : 10.1142 / S0218216503002615 , MR 1999639
- ^ Diao, Yuanan; Ernst, Claus; Por, Atila; Ziegler, Uta (2019), "Las longitudes de cuerda de los nudos son casi lineales en términos de sus números de cruce", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 28 (14): 1950085, doi : 10.1142 / S0218216519500858
- ^ Diao, Yuanan; Ernst, Claus (2004), "Poderes realizables de longitudes de cuerda por familias de nudos no triviales" (PDF) , JP Journal of Geometry and Topology , 4 (2): 197-208, MR 2105812 , archivado desde el original (PDF) en 2005-02-15