Función lacunar

En análisis , una función lacunar , también conocida como serie lacunar , es una función analítica que no puede continuar analíticamente en ningún lugar fuera del radio de convergencia dentro del cual está definida por una serie de potencias . La palabra lacunary se deriva de lacuna ( pl. Lacunae), que significa brecha o vacante.

Los primeros ejemplos conocidos de funciones lacunares involucraron series de Taylor con grandes espacios, o lagunas, entre los coeficientes distintos de cero de sus expansiones. Investigaciones más recientes también han centrado la atención en series de Fourier con brechas similares entre coeficientes distintos de cero. Existe una ligera ambigüedad en el uso moderno del término serie lacunary , que puede referirse a series de Taylor o series de Fourier.

Un simple ejemplo

Deja . Considere la siguiente función definida por una serie de potencias simple: ${\ Displaystyle a \ in \ mathbb {Z} \ cap \ left [2, \ infty \ right)}$

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,

La serie de potencias converge uniformemente en cualquier dominio abierto | z | <1. Esto se puede demostrar comparando f con la serie geométrica , que es absolutamente convergente cuando | z | <1. Entonces f es analítica en el disco unitario abierto. No obstante, f tiene una singularidad en cada punto del círculo unitario y no puede continuarse analíticamente fuera del disco unitario abierto, como demuestra el siguiente argumento.

Claramente, f tiene una singularidad en z = 1, porque

f(1)=1+1+1+\cdots \,

es una serie divergente. Pero si se permite que z no sea real, surgen problemas, ya que

f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}

podemos ver que f tiene una singularidad en un punto z cuando z ^un = 1, y también cuando z ^{un ²} = 1. Por la inducción sugerido por las ecuaciones anteriores, f debe tener una singularidad en cada uno de los un ⁿ -ésimos raíces de unidad para todos los números naturales n. El conjunto de todos esos puntos es denso en el círculo unitario, por lo tanto, por extensión continua, cada punto del círculo unitario debe ser una singularidad de f. ^[1]

Un resultado elemental

Evidentemente, el argumento presentado en el ejemplo simple muestra que se pueden construir ciertas series para definir funciones lacunares. Lo que no es tan evidente es que las brechas entre las potencias de z pueden expandirse mucho más lentamente, y la serie resultante seguirá definiendo una función lacunar. Para hacer esta noción más precisa, se necesita alguna notación adicional.

Nosotros escribimos

f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,

donde b _n = a _k cuando n = λ _k , y b _n = 0 en caso contrario. Los tramos donde los coeficientes b _n en la segunda serie son todos cero son las lagunas en los coeficientes. La secuencia monótonamente creciente de números naturales positivos {λ _k } especifica las potencias de z que están en la serie de potencias para f ( z ).

Ahora se puede establecer un teorema de Hadamard . ^[2] Si

\liminf _{k\to \infty }{\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,

donde δ > 0 es una constante positiva arbitraria, entonces f ( z ) es una función lacunar que no puede continuar fuera de su círculo de convergencia. En otras palabras, la secuencia {λ _k } no tiene que crecer tan rápido como 2 ^k para que f ( z ) sea una función lacunar, solo tiene que crecer tan rápido como alguna progresión geométrica (1 + δ) ^k . Se dice que una serie para la que λ _k crece tan rápido contiene huecos de Hadamard . Véase el teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard .

Serie trigonométrica lacunar

Los matemáticos también han investigado las propiedades de las series trigonométricas lacunares.

S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta +\omega )\,

para lo cual las λ _k están muy separadas. Aquí los coeficientes a _k son números reales. En este contexto, la atención se ha centrado en criterios suficientes para garantizar la convergencia de las series trigonométricas en casi todas partes (es decir, para casi todos los valores del ángulo θ y del factor de distorsión ω ).

Kolmogorov mostró que si la secuencia { λ _k } contiene huecos de Hadamard, entonces la serie S ( λ _k , θ , ω ) converge (diverge) casi en todas partes cuando

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}

converge (diverge).

Zygmund mostró bajo la misma condición que S ( λ _k , θ , ω ) no es una serie de Fourier que representa una función integrable cuando esta suma de cuadrados de a _k es una serie divergente. ^[3]

Una vista unificada

Se puede obtener una mayor comprensión de la pregunta subyacente que motiva la investigación de las series de potencias lacunares y las series trigonométricas lacunares si se vuelve a examinar el ejemplo simple anterior. En ese ejemplo usamos la serie geométrica

g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,

y la prueba M de Weierstrass para demostrar que el ejemplo simple define una función analítica en el disco unitario abierto.

La propia serie geométrica define una función analítica que converge en todas partes del disco unitario cerrado , excepto cuando z = 1, donde g ( z ) tiene un polo simple. ^[4] Y, dado que z = e ^iθ para puntos en el círculo unitario, la serie geométrica se convierte en

g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,

en una z particular , | z | = 1. Desde esta perspectiva, entonces, los matemáticos que investigan series lacunares se hacen la pregunta: ¿Cuánto tiene que distorsionarse la serie geométrica, cortando secciones grandes e introduciendo coeficientes a _k ≠ 1 - antes del objeto matemático resultante se transforma de una función meromórfica suave y agradable a algo que exhibe una forma primitiva de comportamiento caótico ?

Ver también

Notas

↑ (Whittaker y Watson, 1927, p. 98) Este ejemplo aparentemente se originó con Weierstrass.
↑ (Mandelbrojt y Miles, 1927)
↑ (Fukuyama y Takahashi, 1999)
^ Esto se puede demostrar aplicando la prueba de Abel a la serie geométrica g ( z ). También se puede entender directamente, reconociendo que la serie geométrica es la serie de Maclaurin para g ( z ) = z / (1− z ).

Referencias

Katusi Fukuyama y Shigeru Takahashi, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 127 # 2 págs. 599-608 (1999), "El teorema del límite central para series lacunares".
Szolem Mandelbrojt y Edward Roy Cecil Miles, The Rice Institute Pamphlet , vol. 14 # 4 págs. 261-284 (1927), "Funciones lacunarias".
ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1927.

enlaces externos

Fukuyama y Takahashi, 1999 Un artículo (PDF) titulado The Central Limit Theorem for Lacunary Series , de la AMS.
Mandelbrojt y Miles, 1927 Un artículo (PDF) titulado Lacunary Functions , de la Rice University.
Artículo de MathWorld sobre funciones lacunarias

[1] (Whittaker y Watson, 1927, p. 98) Este ejemplo aparentemente se originó con Weierstrass.

[2] (Mandelbrojt y Miles, 1927)

[3] (Fukuyama y Takahashi, 1999)

[4] Esto se puede demostrar aplicando la prueba de Abel a la serie geométrica g ( z ). También se puede entender directamente, reconociendo que la serie geométrica es la serie de Maclaurin para g ( z ) = z / (1− z ).

[1]