Variedad simpléctica
En geometría diferencial , un tema de matemáticas , una variedad simpléctica es un múltiple liso , , equipado con un cerrado no degenerado diferencial 2-forma , llamada la forma simpléctica . El estudio de variedades simplécticas se llama geometría simpléctica o topología simpléctica . Las variedades simplécticas surgen naturalmente en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como los haces cotangentes de variedades. Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las principales motivaciones para el campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como una variedad, y el paquete cotangente de esta variedad describe el espacio de fase del sistema.
Las variedades simplécticas surgen de la mecánica clásica ; en particular, son una generalización del espacio de fase de un sistema cerrado. [1] De la misma manera que las ecuaciones de Hamilton permiten derivar la evolución temporal de un sistema a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales , la forma simpléctica debe permitirle a uno obtener un campo vectorial que describa el flujo del sistema a partir del diferencial dH de un función hamiltoniano H . [2] Entonces requerimos un mapa lineal TM → T ∗ M desde la variedad tangente TM a lacotangente colector de T * M , o de manera equivalente, un elemento de T * M ⊗ T * M . Si ω denota una sección de T ∗ M ⊗ T ∗ M , el requisito de que ω no sea degenerado asegura que para cada diferencial dH hay un campo vectorial único correspondiente V H tal que dH = ω ( V H , ·). Dado que se desea que el hamiltoniano sea constante a lo largo de las líneas de flujo, se debe tener dH ( V H ) = ω ( V H , V H ) = 0 , lo que implica que ω es alterno y, por lo tanto, una forma 2. Finalmente, se hace el requisito de que ω no debería cambiar bajo las líneas de flujo, es decir, que la derivada de Lie de ω a lo largo de V H desaparezca. Aplicando la fórmula de Cartan , esto equivale a (aquí está el producto interior ):
de modo que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves de manera que el intervalo correspondiente del espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito para la derivada de Lie que desaparece a lo largo de los flujos de correspondiente a un suave arbitrario es equivalente al requisito que ω debería estar cerrado .
