En matemáticas , la concentración de medida (alrededor de una mediana ) es un principio que se aplica en la teoría de la medida , la probabilidad y la combinatoria , y tiene consecuencias para otros campos como la teoría del espacio de Banach . De manera informal, establece que "una variable aleatoria que depende en forma de Lipschitz de muchas variables independientes (pero no demasiado de ninguna de ellas) es esencialmente constante". [1]
El fenómeno de la concentración de la medida fue planteado a principios de la década de 1970 por Vitali Milman en sus trabajos sobre la teoría local de los espacios de Banach , ampliando una idea que se remonta a la obra de Paul Lévy . [2] [3] Se desarrolló aún más en las obras de Milman y Gromov , Maurey , Pisier , Schechtman , Talagrand , Ledoux y otros.
El escenario general
Dejar ser un espacio métrico con una medida en los sets de Borel con. Dejar
dónde
es el - extensión (también llamada-grandes en el contexto de la distancia de Hausdorff ) de un conjunto.
La función se llama la tasa de concentración del espacio. La siguiente definición equivalente tiene muchas aplicaciones:
donde el supremo está sobre todas las funciones de 1-Lipschitz , y la mediana (o media de Levy) está definido por las desigualdades
Informalmente, el espacio exhibe un fenómeno de concentración si decae muy rápido como crece. Más formalmente, una familia de espacios de medidas métricasse llama familia Lévy si las tasas de concentración correspondientes satisfacer
y una familia Lévy normal si
para algunas constantes . Para ver ejemplos, vea a continuación.
Concentración en la esfera
El primer ejemplo se remonta a Paul Lévy . Según la desigualdad isoperimétrica esférica , entre todos los subconjuntos de la esfera con medida esférica prescrita , el casquete esférico
para adecuado , tiene el mas pequeño -extensión (para cualquier ).
Aplicar esto a conjuntos de medidas (dónde ), se puede deducir la siguiente desigualdad de concentración :
- ,
dónde son constantes universales. Por lo tanto cumplen con la definición anterior de una familia Lévy normal.
Vitali Milman aplicó este hecho a varios problemas de la teoría local de los espacios de Banach, en particular, para dar una nueva prueba del teorema de Dvoretzky .
Concentración de medida en física
Toda la física estadística clásica se basa en la concentración de fenómenos de medida: La idea fundamental ('teorema') sobre la equivalencia de conjuntos en el límite termodinámico ( Gibbs , 1902 [4] y Einstein , 1902-1904 [5] [6] [7] ) es exactamente el teorema de concentración de capa delgada. Para cada sistema mecánico considerar el espacio de fases equipado por el invariante medida Liouville (el volumen de fase) y la conservación de la energía E . El conjunto microcanónico es simplemente una distribución invariante sobre la superficie de energía constante E obtenida por Gibbs como el límite de distribuciones en el espacio de fase con densidad constante en capas delgadas entre las superficies de estados con energía E y con energía E + ΔE . El conjunto canónico viene dado por la densidad de probabilidad en el espacio de fase (con respecto al volumen de fase)donde las cantidades F = const y T = const se definen por las condiciones de normalización probabilidad y la expectativa dada de energía E .
Cuando el número de partículas es grande, la diferencia entre los valores medios de las variables macroscópicas para los conjuntos canónico y microcanónico tiende a cero y sus fluctuaciones se evalúan explícitamente. Estos resultados han sido probados rigurosamente bajo algunas condiciones de regularidad en la función energética E por Khinchin (1943). [8] El caso particular más simple en el que E es una suma de cuadrados fue bien conocido en detalle antes de Khinchin y Lévy e incluso antes de Gibbs y Einstein. Esta es la distribución de Maxwell-Boltzmann de la energía de las partículas en un gas ideal.
El conjunto microcanónico es muy natural desde el punto de vista físico ingenuo: esto es solo una equidistribución natural en la hipersuperficie isoenergética. El conjunto canónico es muy útil debido a una propiedad importante: si un sistema consta de dos subsistemas que no interactúan, es decir, si la energía E es la suma,, dónde son los estados de los subsistemas, entonces los estados de equilibrio de los subsistemas son independientes, la distribución de equilibrio del sistema es el producto de las distribuciones de equilibrio de los subsistemas con el mismo T. La equivalencia de estos conjuntos es la piedra angular de los fundamentos mecánicos de la termodinámica .
Otros ejemplos
- Desigualdad Borell-TIS
- Desigualdad isoperimétrica gaussiana
- La desigualdad de McDiarmid
- Desigualdad de concentración de Talagrand
Notas al pie
- ^ Talagrand, Michel (1996). "Una nueva mirada a la independencia" . Anales de probabilidad . 24 (1): 1–34. doi : 10.1214 / aop / 1042644705 .
- ^ " La concentración de, omnipresente en la teoría de la probabilidad y la mecánica estadística, fue llevado a la geometría (a partir de los espacios de Banach) por Vitali Milman, siguiendo el trabajo anterior de Paul Lévy "- M. Gromov , Spaces and questions, GAFA 2000 (Tel Aviv, 1999), Geom. Funct. Anal. 2000, volumen especial, parte I, 118-161.
- ^ " La idea de concentración de medida (que fue descubierta por V. Milman) es posiblemente una de las grandes ideas de análisis en nuestro tiempo. Si bien su impacto en la probabilidad es sólo una pequeña parte del panorama general, este impacto no debería ser ignorado. "- M. Talagrand , Una nueva mirada a la independencia, Ann. Probab. 24 (1996), núm. 1, 1-34.
- ^ Gibbs, Josiah Willard (1902). Principios elementales en mecánica estadística (PDF) . Nueva York, NY: Charles Scribner's Sons.
- ^ Einstein, Albert (1902). "Kinetische Theorie des Wärmegleichgewichtes und des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik [Teoría cinética del equilibrio térmico y de la segunda ley de la termodinámica]" (PDF) . Annalen der Physik . Serie 4. 9 : 417–433. doi : 10.1002 / yp.19023141007 . Consultado el 21 de enero de 2020 .
- ^ Einstein, Albert (1904). "Eine Theorie der Grundlagen der Thermodynamik [Una teoría de los fundamentos de la termodinámica]" (PDF) . Annalen der Physik . Serie 4. 11 : 417–433 . Consultado el 21 de enero de 2020 .
- ^ Einstein, Albert (1904). "Allgemeine molekulare Theorie der Wärme [Sobre la teoría molecular general del calor]" (PDF) . Annalen der Physik . Serie 4. 14 : 354–362. doi : 10.1002 / y p.19043190707 . Consultado el 21 de enero de 2020 .
- ^ Khinchin, Aleksandr Y. (1949). Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística [traducción al inglés de la edición rusa, Moscú, Leningrado, 1943] . Nueva York, NY: Courier Corporation . Consultado el 21 de enero de 2020 .
Otras lecturas
- Ledoux, Michel (2001). El fenómeno de concentración de medida . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2864-9.
- AA Giannopoulos y V. Milman, Propiedad de concentración en espacios de probabilidad , Advances in Mathematics 156 (2000), 77-106.